2013 AMC 10 A #24

В тази задача отборът на Централната гимназия играе табла срещу отбора на Северната гимназия. Всеки отбор има по 3 играча, а всеки играч играе по 2 игри срещу всеки играч от другия отбор, така че всеки играч ще участва в 6 игри. Това означава, че турнирът ще се състои в 6 кръга, а по време на всеки кръг едновременно се играят три игри. Тук имаме отбора на Центъра, а тук е отборът на Севера, във всеки кръг участват двойки от двата отбора. Тези тримата ще играят с тези и после се разделят. В следващия кръг те образуват нови двойки и така нататък. Всеки играч ще играе с всеки играч от другия отбор два пъти. Трябва да намерим по колко различни начина може да се организира съзтезанието. По колко различни начини можем да организираме тези 6 кръга? За да си поиграем с тази задача, ще дам имена на играчите. Играчите на Централната гимназия ще означа като А, В и С. Играчите от Северната гимназия ще бъдат M, N и О. Ще започна от тук. Тук ще използвам метод, който наричам конструктивен метод за броене. Просто ще опитам да съставя програма и да видя какво ще се случи, докато съставям тази програма. Ще разгледам два кръга, в които А играе с М. Това ще са два различни кръга, в които те трябва да играят един срещу друг. Какво става с другите четирима играчи? Тук има няколко варианта. В може да играе срещу N в двата кръга. Значи В играе с един и същ играч, което е същото като В да играе в двата кръга срещу О. Мога да преброя по колко начина може да се случи това, това е, по същество, същото нещо като преброяването по колко начина това ще се случи. Но В може да играе и с различни играчи във всеки от тези два кръга. Значи това са двата варианта за играча В. След като планираме В, играч С ще играе с този, който е останал. Това е начинът, по който ще организирам моето броене. Много е важно в първата стъпка да се организираме. Тук имаме добра организация. Тук ще разгледаме случаите, когато В играе срещу един и същ играч и в двата кръга и където В играе срещу различни играчи. Трябва да си спомним, че този случай тук трябва да умножим по 2 накрая, и аз ще го напиша ето тук – по 2. Ще преброим този вариант и после го умножаваме по 2, защото каквото и да получим в този случай, то ще е същото, което ще получим и в този случай. Да се фокусираме на първия случай. Да разгледаме това. Тук имаме играч А срещу играч М и играч В срещу един и същ играч в двата кръга, така че играч С остава срещу играч О. Да видим какво се случва, когато играч А играе срещу N в тези два кръга. Срещу кого играе играч В? В може да е срещу О, или срещу М, това не е толкова важно. Но играч С вече няма да играе срещу играч О. С вече игра два пъти срещу О, така че С ще играе срещу М, което означава, че играч В играе срещу О. Това ще се случи в тези два варианта. После продължаваме и в последната двойка кръгове е очевидно какво трябва да направи всеки от тези играчи. Те трябва да играят с опонентите, които са останали. Това са нашите 6 кръга. Както виждаме, тук имаме 6 кръга, но това са идентични двойки. Виждаш, това е като това тук, това е като това, а това е като това. Значи тези два кръга са Х, тези два кръга са Y, а тези два кръга са Z. Значи единственото решение, което трябва да вземем, когато съставяме тези двойки, е редът, по който те ще играят. Това, което реално направихме, е просто да съставим "думата" ХХYYZZ. Колко начина съществуват, за да съставим тази дума? Това ще ни даде редът на тези кръгове. После само поставяме тези ето тук. Получихме 6 "букви". Значи 6!, но после трябва да разделим на 2! за всяко от тези повторения, защото, когато преброяваме това 6 факториел, досещаш се, броим повторно, защото когато редът е ХХ, ако го обърнем, той пак си е ХХ, това отново е същата програма. 6 факториел е 720. Две по две по две е осем. Делим на 8, получаваме 90. Значи в този случай имаме 90. Когато се върнем обратно тук, виждаме тук това по 2, и си спомняме, че трябва да удвоим, защото случаят, когато В играе срещу О в двата кръга също дава 90. Това прави общо 180, и сега можем да продължим и да разгледаме другия случай, когато играч В играе срещу двама различни играчи, докато А играем с М. Получихме А срещу М в тези два кръга. В играе с N в единия от тях, В играе с О в другия. Знаем срещу кого играе играч С. Тук ще направим същото като преди. И просто продължаваме да съставяме кръговете. Да видим какво се случва, когато А играе с N. Когато А играе с N, какво ще се случи тук? Никой не може да играе с N. Някой трябва да играе срещу М, някой срещу О. В не може да играе срещу О в двата кръга, защото В вече е играл веднъж с О. С не може да играе с О в двата кръга, защото С вече е играл веднъж срещу О. Това означава, че В ще играе срещу О в единия кръг, а С ще играе срещу О в другия кръг, защото О не може да играе с никой от тях два пъти. И с това попълваме програмата. И продължаваме по същия начин. Виж какво се случва, когато А играе с О. Играч В трябва да играе с М и N, само това остана като възможност. Ще играе срещу М в единия кръг и срещу N в другия кръг. Може да играе само по една игра с всеки от тях. Знаем, че С участва във всеки от тези кръгове. Тези шест кръга са различни помежду си. Така че сега знаем, че това са шест кръга, които трябва да бъдат изиграни, когато А играе с М, В играе срещу различни играчи, докато А играе с М. Това са шестте кръга, които трябва да се проведат. Единственото важно е в какъв ред са тези шест кръга. Те всички са различни, така че това е 6! равно на 720 начина за подреждане на тези 6 кръга. Да се върнем в началото, при двата възможни случая, ето тук. При втория случай (когато В играе с различни играчи) вариантите са 720. Събираме вариантите в двата случая и получаваме 900, и сме готови.