If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ако си зад уеб филтър, моля, увери се, че домейните *. kastatic.org и *. kasandbox.org са разрешени.

Основно съдържание
Текущ час:0:00Обща продължителност:7:00

Видео транскрипция

Нека у да е дефинирано като функция от х: у равно на натурален логаритъм от (х – 3). Препоръчвам ти да поставиш видеото на пауза и да помислиш за кои стойности на х тази функция е дефинирана. Друг начин да разглеждаш това е да намериш кое е дефиниционното множество на тази функция и после да начертаеш графиката на функцията, може би на някакъв лист, който ти е наблизо, а после да видиш и да помислиш дали съществуват някакви вертикални асимптоти, и ако да, къде се намират те. Предполагам, че опита. Първо да помислим в какъв интервал е дефинирана тази функция. Важно е да осъзнаем, че функцията е дефинирана само за натурален логаритъм от положителни стойности. Значи това тук трябва да е положително или можем да кажем също, че функцията е дефинирана за всички стойности на х, такива че (х – 3) е строго положително. Не по-голямо от или равно на 0, а само по-голямо от нула. Не сме дефинирали колко е натурален логаритъм от нула, затова (х – 3) трябва да е по-голямо от нула, за да имаме положителен израз в скобите, за да намираме натурален логаритъм от положително число. Ако прибавим 3 към двете страни, ще получим, че х е по-голямо от 3. Значи функцията е дефинирана за стойностите на х, по-големи от 3. Можем да посочим това като дефиниционно множество, множеството от всички реални числа, които са по-големи от 3. Като определихме това, сега да опитаме да начертаем графиката на функцията у равно на натурален логаритъм от (х – 3). Ще използвам тази координатна система. Първото нещо, за което искам да помислим, е... всъщност нека да начертаем някои интересни точки. Най-очевидната е тази, за която натуралният логаритъм, тази цялата функция е равна на нула. Кога графиката ще пресича оста х? Да помислим малко. Кога натурален логаритъм от (х – 3) ще е равен на 0? Единият начин да подходим към това е като разгледаме изразите от двете страни на знака за равенство като степенни показатели и да повдигнем е от двете страни на уравнението на тези степени. Можем да кажем, че е на степен натурален логаритъм от (х – 3) е равно на е на степен 0, и, разбира се, ако повдигнем е на някаква степен, за да получим (х – 3), тогава получаваме (х – 3). Ако повдигнем е на нулева степен, всичко на степен 0 освен евентуално 0, това е под съмнение, или може би не е дефинирано, е на нулева степен е равно на 1. Това е друг начин да кажем, че: "Хей, на каква степен трябва да повдигна е, за да получа 0?" Знаем, че е на нулева степен е равно на 1, значи (х – 3) е равно на 1. Натурален логаритъм от 1 е нула. Значи (х – 3) е равно на 1, прибавяме 3 към двете страни, получаваме, че х е равно на 4. Следователно точката (4;0) лежи на графиката – ще я начертая. Едно, две, три, четири. Това ето тук е точката. х е 4, у е 0. 4 минус 1... 4 минус 3 е 1, натурален логаритъм от 1 е нула. Знаем също така, че функцията е дефинирана само за х > 3, затова ще използвам пунктирана линия ето тук при х = 3. Знаем, че функцията не е дефинирана за х = 3, както и за всички стойности наляво от х = 3. Да помислим какво се случва, когато приближаваме х = 3 отдясно, като за тази цел ще направя една таблица. Ще направя една таблица, ще поставя няколко стойности на х, а после да помислим какви са съответстващите им стойности на у. Можем да вземем... вече знаем, намерихме точката (4; 0). Да опитаме с 3,1 и 3,01, също и 3,001 и да видим какво ще получим. Вероятно се досещаш, че от всяка от тези стойности ще извадя 3, така че реално в натуралния логаритъм ще заместим 0,1 и 0,01, и 0,001. Така ще имаме все по-отрицателни степенни показатели, или степени, на които повдигаме, за да получим стойностите на у, но хайде да го проверим. Ще използвам калкулатор. Взимам калкулатора, отивам на основния екран. Да намерим натурален логаритъм от (3,1 – 3). 3,1 минус 3. Получавам –2,3, което ще закръгля до първия знак след запетаята. Значи тук е –2,3. Ако повдигнем... ако намерим натурален логаритъм от 3,01, 3,01 минус 3, получаваме –4,6, отново закръглявам до –4,6. Натурален логаритъм от 3,001 нула, едно, минус 3, получаваме –6,9. И само за забавление, да сметнем нещо доста по-впечатляващо. Да намерим натурален логаритъм от 3 цяло... нека да имаме една, две, три, четири, пет нули, след тях едно, минус 3. Тук получаваме много по-отрицателна стойност, (–13,81). Както виждаш, колкото по-близо отиваме до 3, толкова по-отрицателни стойности получаваме. Само ще го начертая – това е минус едно, това е минус две, това е минус 3, това е минус 4. Значи за х = 3,1, което е ето тук, получихме –2,3, което е ето тук. Когато х е 3,01, което е трудно да се види тук, получихме –4,6, което е тук долу. Графиката ще изглежда приблизително ето така. Опитвам се да я направя на ръка, без инструменти, ще изглежда ето така, нещо приблизително такова. Има ли вертикална асимптота? Категорично. Когато приближаваме 3 от стойности по-големи от 3, от дясната страна, тогава функцията се спуска стръмно надолу. Тя няма граница. Спуска се надолу. Стойността на функцията бързо клони към минус безкрайност. Очевидно съществува вертикална асимптота. Имаме вертикална асимптота при х равно на три.
Кан Академия – на български благодарение на сдружение "Образование без раници".