Преговор на инфлексни точки

Инфлексни точки (или точки на инфлексия) са точки, в които графиката на една функция променя вдлъбнатостта или изпъкналостта си (от $\cup$\cup към $\cap$\cap или обратно).

Инфлексните точки се намират подобно на точките на екстремум. Обаче вместо да търсим точките, в които производната променя знака си, търсим точките, в които втората производна променя знака си.

Например нека намерим инфлексните точки на $f(x)=\dfrac{1}{2}x^4+x^3-6x^2$f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, x, start superscript, 4, end superscript, plus, x, cubed, minus, 6, x, squared.

Втората производна на $f$f е $f''(x)=6(x-1)(x+2)$f, start superscript, prime, prime, end superscript, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 6, left parenthesis, x, minus, 1, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 2, right parenthesis.

$f''(x)=0$f, start superscript, prime, prime, end superscript, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 0 за $x=-2,1$x, equals, minus, 2, comma, 1 и е определена навсякъде. $x=-2$x, equals, minus, 2 и $x=1$x, equals, 1 разделят числовата ос на три интервала:

Нека сметнем $f''$f, start superscript, prime, prime, end superscript за всеки интервал, за да видим дали е положителна или отрицателна в този интервал.

Можем да видим, че графиката на $f$f променя изпъкналостта си в $x=-2$x, equals, minus, 2 и $x=1$x, equals, 1, следователно $f$f има инфлексни точки в двете стойности на $x$x.