Основно съдържание
12. клас (България) Профилирана подготовка Модул 3 Практическа математика
Курс: 12. клас (България) Профилирана подготовка Модул 3 Практическа математика > Раздел 1
Урок 6: Изпъкналост и вдлъбнатост на функция. Инфлексни точки- Въведение в изпъкналост и вдлъбнатост
- Изследване на вдлъбнатост и изпъкналост (графично)
- Въведение в изпъкналост и вдлъбнатост
- Въведение в инфлексните точки
- Инфлексни точки (графично)
- Решен пример: Инфлексни точки от първа производна
- Въведение в инфлексните точки
- Изследване на вдлъбнатост и изпъкналсот (алгебрично)
- Инфлексни точки (алгебрично)
- Грешки при намиране на инфлексни точки: неопределена втора производна
- Грешки при намиране на инфлексни точки: да не проверим кандидатите
- Изследване на втората производна, за да намерим инфлексни точки
- Изследвай вдлъбнатост и изпъкналост
- Намери инфлексни точки
- Преговор на вдлъбнатост и изпъкналост
- Преговор на инфлексни точки
- Инфлексни точки от графики на функции и производни
- Обосноваване, използвайки втората производна: инфлексна точка
- Обосноваване, използвайки втората производна: точка на максимум
- Обосноваване, използвайки втората производна
- Обосноваване, използвайки втората производна
- Предизвикателство: Изпъкналост, вдлъбнатост и инфлексни точки
© 2023 Khan AcademyУсловия за ползванеДекларация за поверителностПолитика за Бисквитки
Обосноваване, използвайки втората производна
"Математическото мислене" с втората производна на функция могат да се използват, за да се обосноват твърдения за изпъкналост и вдлъбнатост на първоначалната функция и за инфлексните ѝ точки.
Научихме, че първата производна f, prime ни дава информация за това къде първоначалната функция f расте или намалява, и къде f има екстремуми.
Втората производна f, start superscript, prime, prime, end superscript ни дава информация за изпъкналост и вдлъбнатост на първоначалната функция f и за това къде f има инфлексни точки.
Нека преговорим какво е вдлъбнатост и изпъкналост.
Една функция е изпъкнала, когато наклонът ѝ е растящ. Графично: графика, която е изпъкнала, има форма на чаша, \cup.
Аналогично една функция е вдлъбната, когато наклонът ѝ е намаляващ. Графично: графика, която е вдлъбната, има форма на шапка, \cap.
Инфлексна точка е когато функцията променя изпъкналостта си (вдлъбнатостта си).
Как f, start superscript, prime, prime, end superscript ни информира за изпъкналостта на f
Когато втората производна f, start superscript, prime, prime, end superscript е положителна, това означава, че първата производна f, prime е растяща, което означава, че f е изпъкнала. Аналогично отрицателната f, start superscript, prime, prime, end superscript означа, че f, prime е намаляваща и f е вдлъбната.
f, start superscript, prime, prime, end superscript | f, prime | f |
---|---|---|
положителна plus | растяща \nearrow | изпъкнала \cup |
отрицателна minus | намаляваща \searrow | вдлъбната \cap |
пресичащта оста x (промяна на знака) | екстремум (промяна на посоката) | инфлексна точка (промяна на изпъкналост) |
Ето един графичен пример:
f, start superscript, prime, prime, end superscript | f, prime | f |
---|---|---|
Забележи как f е start color #aa87ff, start text, в, д, л, ъ, б, н, а, т, а, end text, end color #aa87ff отляво на x, equals, c и е start color #1fab54, start text, и, з, п, ъ, к, н, а, л, а, end text, end color #1fab54 вдясно от x, equals, c.
Често срещана грешка: Да объркаме връзката между f, f, prime и f, start superscript, prime, prime, end superscript
Запомни, че за да бъде изпъкнала функцията f, първата производна f, prime трябва да е растяща, а втората производна f, start superscript, prime, prime, end superscript трябва да е положителна. Други поведения на f, f, prime и f, start superscript, prime, prime, end superscript може да не са обвързани.
Например в първа задача по-горе втората производна f, start superscript, prime, prime, end superscript е изпъкнала в интервала open bracket, minus, 8, ;, minus, 2, close bracket но това не означава, че функцията f е изпъкнала в този интервал.
Искаш ли да се упражняваш още? Опитай това упражнение.
Често срещана грешка: погрешно да тълкуваме показаната графична информация
Представи си ученик, който решава Задача 2 по-горе, мислещ че графиката е на първата производна на h. В този случай h ще има инфлексна точка в A и B, защото това са точките, в които h, prime си променя посоката. Този ученик ще греши, защото това е графиката на втората производна, а верният отговор е D.
Не забравяй винаги да се уверяваш, че разбираш дадената информация. Графиката на функцията f ли ни е дадена, на първата производна f, prime или на втората производна f, start superscript, prime, prime, end superscript?
Използване на втората производна за определяне дали екстремумът е минимум или максимум
Представи си, че ни е дадена функция f, която има екстремум в x, equals, 1, и че тя е изпъкнала в интервала open bracket, 0, ;, 2, close bracket. От тази информация можем ли да кажем дали този екстремум е минимум или максимум?
Отговорът е ДА. Спомни си, че една функция, която е изпъкнала, има форма на чаша \cup. В тази форма една крива може да има само един минимум.
Аналогично, ако една функция е вдлъбната, когато тя има екстремум, този екстремум трябва да е максимум.
Искаш ли още да се упражняваш? Опитай това упражнение.
Искаш ли да се присъединиш към разговора?
Все още няма публикации.