If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ако си зад уеб филтър, моля, увери се, че домейните *. kastatic.org и *. kasandbox.org са разрешени.

Основно съдържание

12. клас (България) Профилирана подготовка Модул 3 Практическа математика

Курс: 12. клас (България) Профилирана подготовка Модул 3 Практическа математика > Раздел 1

Урок 6: Изпъкналост и вдлъбнатост на функция. Инфлексни точки
Математика
12. клас (България) Профилирана подготовка Модул 3 Практическа математика
Приложения на математическия анализ
Изпъкналост и вдлъбнатост на функция. Инфлексни точки
© 2023 Khan AcademyУсловия за ползванеДекларация за поверителностПолитика за Бисквитки

Изследване на втората производна, за да намерим инфлексни точки

Класна стая на Google
Научи как втората производна на една функция се използва, за да намерим инфлексните ѝ точки. Научи кои често срещани грешки да избягваш в този процес.
Можем да намерим инфлексните точки на една функция, като анализираме втората ѝ производна.

Пример: Намиране на инфлексните точки на f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, start superscript, 5, end superscript, plus, start fraction, 5, divided by, 3, end fraction, x, start superscript, 4, end superscript

Стъпка 1: Намиране на втората производна
За да намерим инфлексните точка на f, трябва да използваме f, start superscript, prime, prime, end superscript:
f′(x)=5x4+203x3f′′(x)=20x3+20x2=20x2(x+1)\begin{aligned} f'(x)&=5x^4+\dfrac{20}{3}x^3 \\\\ f''(x)&=20x^3+20x^2 \\\\ &=20x^2(x+1) \end{aligned}
Стъпка 2: Намиране на всички кандидати
Подобно на критичните точки, това са точки, при които f, start superscript, prime, prime, end superscript, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 0 или f, start superscript, prime, prime, end superscript, left parenthesis, x, right parenthesis е неопределена.
f, start superscript, prime, prime, end superscript е нула при x, equals, 0 и x, equals, minus, 1, и е определена за всички реални числа. Следователно x, equals, 0 и x, equals, minus, 1 са нашите кандидати.
Стъпка 3: Изследване на вдлъбнатост и изпъкналост
ИнтервалТест x-стойностf, start superscript, prime, prime, end superscript, left parenthesis, x, right parenthesisИзвод
x, is less than, minus, 1x, equals, minus, 2f, start superscript, prime, prime, end superscript, left parenthesis, minus, 2, right parenthesis, equals, minus, 80, is less than, 0f е вдлъбната \cap
minus, 1, is less than, x, is less than, 0x, equals, minus, 0, comma, 5f, start superscript, prime, prime, end superscript, left parenthesis, minus, 0, comma, 5, right parenthesis, equals, 2, comma, 5, is greater than, 0f е изпъкнала \cup
x, is greater than, 0x, equals, 1f, start superscript, prime, prime, end superscript, left parenthesis, 1, right parenthesis, equals, 40, is greater than, 0f е изпъкнала \cup
Стъпка 4: Намиране на инфлексни точки
След като знаем, че интервалите, в които f е вдлъбната или изпъкнала, можем да намерим нейните инфлексни точки (т.е. където вдлъбнатостта променя посоката си).
  • f е вдлъбната преди x, equals, minus, 1, изпъкнала е след това и е определена в x, equals, minus, 1. Следователно f има инфлексна точка в x, equals, minus, 1.
  • f е изпъкнала преди и след x, equals, 0, следователно няма инфлексна точка там.
Можем да потвърдим нашите резултати, като погледнем графиката на f.
Дадена е графиката на функцията f. Оста х е разграфена от минус 4 до 4. Гражиката представлява крива, която започва от квадрант 3, издига се нагоре с намаляваща стръмност приблизително до точка (минус 1,3; 1), спуска се с нарастваща стръмност до около точка (минус 1; 0,7), продължава надолу с намаляваща стръмност до началото на координатната система, издига се нарастваща стръмност и завършва в квадрант 1. Точката (минус 1; 0,7), в която графиката се променя от движение надолу с намаляваща стръмност към движение надолу с намаляваща стръмност е инфлексна точка. Частта от кривата наляво от тази точка е изпъкнала, където кривата се издига с намаляваща стръмност, а после се движи с нарастваща стръмност. Частта от кривата надясно от инфлекната точка е вдлъбната, където кривата се спуска с намаляваща стръмност и после започва да се издига с нарастваща стръмност.
Задача 1
Поискали от Олга да намери къде f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, minus, 2, right parenthesis, start superscript, 4, end superscript има инфлексни точки. Това е нейното решение:
Стъпка 1:
f′(x)=4(x−2)3f′′(x)=12(x−2)2\begin{aligned} f'(x)&=4(x-2)^3 \\\\\\ f''(x)&=12(x-2)^2 \end{aligned}
Стъпка 2: Решението за f, start superscript, prime, prime, end superscript, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 0 е x, equals, 2.
Стъпка 3: f има инфлексна точка в x, equals, 2.
Вярно ли е решението на Олга? Ако не, каква е нейната грешка?
Избери един отговор:

Често срещана грешка: да не проверим кандидатите

Запомни: Не трябва да приемаме, че всяка точка, в която f, start superscript, prime, prime, end superscript, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 0 (или в която f, start superscript, prime, prime, end superscript, left parenthesis, x, right parenthesis е неопределена) е инфлексна точка. Вместо това трябва да проверим нашите кандидати, за да видим дали втората производна променя знака си в тези точки и дали функцията е определена в тези точки.
Задача 2
Поискали са от Робърт да намери къде g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, cube root of, x, end cube root има инфлексни точки. Това е неговото решение:
Стъпка 1:
g′(x)=13x−23g′′(x)=−29x−53=−29x53\begin{aligned} g'(x)&=\dfrac13x^{-\frac23} \\\\\\ g''(x)&=-\dfrac29x^{-\frac53} \\\\ &=-\dfrac{2}{9\sqrt[3]{x^5}} \end{aligned}
Стъпка 2: g, start superscript, prime, prime, end superscript, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 0 няма решение.
Стъпка 3: g няма никакви инфлексни точки.
Вярно ли е решението на Робърт? Ако не, каква е неговата грешка?
Избери един отговор:

Често срещана грешка: да не включим точки, в които производната е неопрелена

Запомни: Нашите кандидати за инфлексни точки са точки, в които втората производна е равна на нула и точки, в които втората производна е неопределена. Пренебрегвайки точки, в които втората производна е неопределена, често ще доведе до грешен отговор.
Задача 3
Поискали са от Том да намери дали h, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, squared, plus, 4, x има инфлексна точка. Това е неговото решение:
Стъпка 1: h, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 2, x, plus, 4
Стъпка 2: h, prime, left parenthesis, minus, 2, right parenthesis, equals, 0, следователно x, equals, minus, 2 е потенциална инфлексна точка.
Стъпка 3:
ИнтервалПробна стойност на xh, prime, left parenthesis, x, right parenthesisЗаключение
left parenthesis, minus, infinity, ;, minus, 2, right parenthesisx, equals, minus, 3h, prime, left parenthesis, minus, 3, right parenthesis, equals, minus, 2, is less than, 0h е вдлъбната \cap
left parenthesis, minus, 2, ;, infinity, right parenthesisx, equals, 0h, prime, left parenthesis, 0, right parenthesis, equals, 4, is greater than, 0h е изпъкнала \cup
Стъпка 4: h е вдлъбната преди x, equals, minus, 2 и изпъкнала след x, equals, minus, 2, следователно h има инфлексна точка в x, equals, minus, 2.
Вярно ли е решението на Том? Ако не, каква е неговата грешка?
Избери един отговор:

Често срещана грешка: да разглеждаме първата производна, вместо втората

Запомни: Когато търсим инфлексни точки, винаги трябва да изследваме къде втората производна променя знака си. Правейки това за първата производна, ще ни даде локалните екстремуми, а не инфлексните точки.
Задача 4
Нека g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, start superscript, 4, end superscript, minus, 12, x, cubed, minus, 42, x, squared, plus, 7.
При кои стойности на x графиката на g има инфлексна точка?
Избери всички правилни отговори:

Искаш ли още да се упражняваш? Опитай това упражнение.

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Вписване в профила
Все още няма публикации.
Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.