Основно съдържание
12. клас (България) Профилирана подготовка Модул 3 Практическа математика
Курс: 12. клас (България) Профилирана подготовка Модул 3 Практическа математика > Раздел 1
Урок 6: Изпъкналост и вдлъбнатост на функция. Инфлексни точки- Въведение в изпъкналост и вдлъбнатост
- Изследване на вдлъбнатост и изпъкналост (графично)
- Въведение в изпъкналост и вдлъбнатост
- Въведение в инфлексните точки
- Инфлексни точки (графично)
- Решен пример: Инфлексни точки от първа производна
- Въведение в инфлексните точки
- Изследване на вдлъбнатост и изпъкналсот (алгебрично)
- Инфлексни точки (алгебрично)
- Грешки при намиране на инфлексни точки: неопределена втора производна
- Грешки при намиране на инфлексни точки: да не проверим кандидатите
- Изследване на втората производна, за да намерим инфлексни точки
- Изследвай вдлъбнатост и изпъкналост
- Намери инфлексни точки
- Преговор на вдлъбнатост и изпъкналост
- Преговор на инфлексни точки
- Инфлексни точки от графики на функции и производни
- Обосноваване, използвайки втората производна: инфлексна точка
- Обосноваване, използвайки втората производна: точка на максимум
- Обосноваване, използвайки втората производна
- Обосноваване, използвайки втората производна
- Предизвикателство: Изпъкналост, вдлъбнатост и инфлексни точки
© 2023 Khan AcademyУсловия за ползванеДекларация за поверителностПолитика за Бисквитки
Обосноваване, използвайки втората производна: точка на максимум
Ако производната на една функция е нула, можем да стигнем до извода дали функцията има локален максимум, като разгледаме втората производна.
Искаш ли да се присъединиш към разговора?
Все още няма публикации.
Видео транскрипция
Известно е, че производната h'(–4) = 0. Какво е подходящото математически
обосновано доказателство, че h има локален максимум
в точката x = -4? Ето тук е изобразена трафично
функцията h. Това е графиката на y = h(x). Първата производна h'
не е изобразена графично, но имаме изобразена
втората производна h'', която е с оранжев цвят. В задачата ни казват,
че h'(–4) = 0, т.е., че първата производна
за x = –4 e равна на 0. Действително можеш да видиш, че наклонът
(ъгловият коефициент) на допирателната, когато x = –4, е 0. Като разполагаме с тази информация, се изисква да открием какво е математическо обоснованото
доказателство за факта, че h има
локален максимум за x = –4. Първата възможност e, че втората
производна "h''(–4) е отрицателна" в точката x = –4. Какво ни казва това? Ако втората производна
е отрицателна, то това означава, че първата
производна намалява, което е друг начин да се каже, че се намираме в ситуация,
където поне за x = –4 функцията е вдлъбната. Последното означава, че
основната част на кривата би изглеждала по този начин
около x = –4. Ако наклонът при x = –4 e 0 това ни казва, че наистина там има локален максимум. Ако втората производна в тази точка
беше положителна, тогава функцията би била изпъкнала. Ако производната там е равна на 0, бихме казали, че в тази точка
има локален минимум. Това действително е вярно. Втората производна е отрицателна
при x = –4, което означава, че функцията
е вдлъбната. Последното означава, че имаме
обърната парабола и точката, в която производната е 0, действително е локален максимум. Това е верният отговор. Готови сме, но нека да обясним
и другите възможности. "h нараства преди x = –4." Това действително е вярно. Преди x = –4 функцията нараства, а след това намалява. Това е вярно и това е причина
да смятаме, че там следва да има локален максимум,
като предположим, че функцията е
непрекъсната за x = –4. Това е вярно. Доказателство е за
локален максимум, но не е математически обосновано. Следователно може да го изключим. "Втората производна има
локален минимум в точката x = –4." Това изглежда, че е вярно. Там има локален минимум, но това не е доказателство, което обяснява защо в точката x = –4 h има локален максимум. Например за x = –4
втората производна h'' може да има локален минимум, но втората производна
все пак може да е положителна. Какво означава, ако именно това е
случаят с втората производна? Това би могло да е
локален минимум, но ако тя беше положителна
в тази точка, защото тогава би била изпъкнала. Това означава, че при x = –4 първоначалната функция
няма да има локален максимум, а ще има локален минимум. Следователно само локален
минимум не е достатъчен. За да твърдим, че функцията има локален максимум, трябва да знаем, че там втората производна
е отрицателна. Четвъртият избор е "h'' е изпъкнала". Втората производна наистина
изглежда изпъкнала, но това само по себе си не доказва, че първоначалната функция
е изпъкнала. Мога да използвам следния пример. Това е възможна втора производна, която е изпъкнала, но има положителни стойности
през цялото време. Ако втората производна е
положителна през цялото време това означава, че първата производна нараства през цялото време, което означава, че
първоначалната функция ще бъде изпъкнала
през цялото време. Следователно, ако една функция е
изпъкнала през цялото време, тогава няма да има
локален максимум в точката x = –4. Ще изключим и този отговор.