Въведение в изпъкналост и вдлъбнатост

Тук ни е дадена в жълто графиката на у равно на f от х. След това тук в този бледоморав цвят е дадена графиката на производната на f, т.е. f' от х. А след това ето тук, в синьо, е дадена графиката на у е равно на втората производна на функцията f, т.е. f'' от х. Следователно това е производната на тази функция, на първата производна ето тук. Вече разгледахме примери как може да откриваме точки на минимум и максимум. Очевидно, ако имаме графиката пред себе си, не е трудно за човек да открие, че това е точка на локален максимум. Функцията може да приема по-високи стойности след това. А също така и да открие, че това е точка на локален минимум. Функцията може да приема по-ниски стойности след това. Но видяхме, че дори и да не разполагаме с графиката пред себе си, ако можем да намерим производната на функцията, то може – или дори ако не можем да намерим производната на функцията – да открием тези точки на минимум или максимум. А начинът, по който го направихме, е като зададем въпроса: Кои са критичните точки за дадената функция? Критичните точки са места, където производната на функцията или не е дефинирана, или е равна на 0. Това е производната на функцията. Тук и ето тук е равна на 0. Ще наречем тези места критични точки. Засега не виждам точки, в които производната не е дефинирана. Тази и тази точка ще ги означим като критични точки. Това са точки, които са кандидати за функцията, за минимална или максимална стойност. Начинът, по който определяме дали е минимална или максимална стойност, е като проверим поведението на производната около всяка една от тези точки. Ето тук виждаме, че производната е положителна, когато достигаме до тази точка. А след това става отрицателна. Променя се от положителна на отрицателна, когато преминава през тази точка. Което означава, че функцията е била нарастваща. Ако производната е положителна, това означава, че функцията е била нарастваща, когато се приближава към тази точка, а след това е намаляваща, когато продължава след тази точка, което е достатъчно добро основание да смятаме, това е точка, в която има максимум. Ако функцията е нарастваща, когато се приближаваме към нея, а намаляваща след това, то тогава това определено е точка, в която има максимум. Подобно на това, точно ето тук виждаме, че производната е отрицателна, когато се приближаваме към тази точка, което означава, че функцията е намаляваща. И виждаме, че производната е положителна, когато продължава след тази точка. Производната се променя от отрицателна към положителна, което означава, че функцията се променя от намаляваща към нарастваща, около тази точка. Това е достатъчно добър показател, или това е показателят, че тази критична точка е точка, в която функцията достига до минимална стойност. Това, което искам да направя сега, е да разширя тази тема, като използвам идеята за вдлъбнатост. Вдлъбнатост. Знам, че не го произнасям правилно. Може би е вдлъбнатост. Като мислим за вдлъбнатост, може да разгледаме втората производна не като просто пресичане на оста х, а дали това са точки на минимум или максимум. Нека да помислим какво се случва в ето тази област, т.е. тази част от кривата тук горе, която изглежда като арка, която е отворена отдолу, и изглежда като буквата A, без пресечната линия, или като обърнатa буква U. Тогава искаме да помислим какво се случва при тази отворена отдолу част U от кривата. В рамките на този първи интервал, точно ето тук, ако започнем от тук, то наклонът е много...Всъщност ще го направя със същия цвят, защото това е същият цвят, който използвах за производната. Наклонът е силно положителен. След това става по-малко положителен. След това става дори още по-малко положителен. Евентуално достига до 0. След това продължава да намалява. Сега става слабо отрицателен, още повече отрицателен, а след това става дори още по-силно отрицателен. И дори още повече отрицателен. Изглежда, че около това място спира да намалява. Наклонът спира да намалява точно около тази точка. Виждаме това на графиката на производната. Наклонът е намаляващ, намаляващ, намаляващ, докато не достигне до тази точка. След това започва да нараства. Следователно в цялата тази част ето тук, наклонът е намаляващ. Наклонът е намаляващ. И това го виждаме ето тук, когато наблюдаваме производната. Производната ето тук, в рамките на този интервал, е намаляваща. Това се вижда и при втората производна. Ако производната е намаляваща, това означава, че втората производна – т.е. производната на производната – е отрицателна. И виждаме действително, че случаят е такъв. В рамките на този интервал втората производна действително е отрицателна. А какво се случва при преминаването към тази отворена отгоре крива, която изглежда като буквата U? Тук производната е доста отрицателна. Доста отрицателна е на това място. След това отново е отрицателна, но става все по-малко, по-малко и по-малко отрицателна, По-малко, по-малко и по-малко отрицателна, След това достига до 0. Ето в тази точка става 0. След това става все повече и повече положителна. Това се вижда и ето тук. Следователно в рамките на целия този интервал наклонът, или производната, е нарастваща. Наклонът е нарастващ. Това се вижда ето тук. В тази точка наклонът е 0. Наклонът на производната е 0. Самата производна не се променя в този момент. След това се вижда, че наклонът нараства. Още веднъж, може да онагледим това на графиката на втората производна, т.е. производната на производната. Ако производната е нарастваща, това означава, че нейната производна следва да е положителна. И действително се получава, че производната е положителна. Имаме дума за тази отворена отдолу крива с формата на U, и отворена отгоре крива с формата на U. Наричаме това вдлъбната функция. Вдлъбната функция. Нека да го изясня. Вдлъбната функция. А това наричаме изпъкнала функция. Изпъкнала функция. Нека да си припомним как може да открием интервали на вдлъбнатост и интервали на изпъкналост. Ако говорим за вдлъбната функция, виждаме няколко неща. Виждаме, че наклонът е намаляващ. Наклонът е намаляващ. Което е просто друг начин да кажем, че f' от х е намаляваща. Което е друг начин да се каже, че втората производна трябва да е отрицателна. Ако първата производна намалява, то втората производна трябва да е отрицателна. А това е друг начин да се каже, че втората производна в рамките на този интервал трябва да бъде отрицателна. Тоест, ако имаш отрицателна втора производна, то тогава се намираш в интервал на вдлъбнатост. Аналогично – имам трудности с изговарянето на тази дума - нека да помислим за изпъкналост, или когато имаш отворена отгоре крива U. Изпъкнала функция. В тези интервали наклонът е нарастващ. Имаме отрицателен наклон, по-малко отрицателен, по-малко отрицателен, 0, положителен, повече положителен, повече положителен, още повече положителен. Следователно наклонът е нарастващ. Наклонът е нарастващ. Което означава, че производната на функцията е нарастваща. А това се вижда ето тук. Производната е нарастваща, което означава, че втората производна в рамките на този интервал – където функцията е изпъкнала – трябва да е по-голяма от 0. Ако втората производна е по-голяма от 0, това означава, че първата производна е нарастваща, което означава, че наклонът е нарастващ. Намираме се в интервал на изпъкналост. Като вземем предвид всички тези дефиниции – които току-що дадохме за вдлъбнатост и изпъкналост – можем ли да намерим друг начин за определяне дали една критична точка е точка на минимум или точка на максимум? Ако имаш точка на максимум, т.е. критична точка, където функцията е вдлъбната, тогава ще се намираш в точка на максимум. Вдлъбната функция, нека да го изясним, означава, че кривата се отваря отдолу като ето това. А когато става дума за критична точка, ако предполагаме, че е вдлъбната ето тук, предполагаме, че функцията е диференцируема в този интервал. Тогава критичната точка ще бъде там, къде наклонът е равен на 0. Следователно ще бъде ето тази точка тук. Ако функцията е вдлъбната и имаш точка, където f' от а, например, е равно на 0, то функцията има максимум в точката а. Mаксимум в точката а. Аналогично, ако функцията е изпъкнала, това означава, че функцията изглежда като нещо такова. Ако бяхме намерили критична точка, т.е. такава, при която функцията може да не е дефинирана, но предположим, че първата производна и втората производна е дефинирана тук, тогава критичната точка ще бъде такава, при която първата производна ще бъде равна на 0. Следователно f' от а е равно на 0. А ако f' от а е равно на 0, и функцията е изпъкнала в интервала около а, и ако втората производна е по-голяма от 0, то е достатъчно ясно – ето тук се вижда – че в точка а има точка на минимум.