Обосноваване, използвайки втората производна: инфлексна точка

На графиката са показани двойно диференцируемата функция g и втората ѝ производна g''. Можеш да видиш ето тук. В момента работя върху статия от Кан Академия, която се нарича "Доказателство чрез използване на втора производна" Наблюдаваме функцията g. Забелязваме, че тук е изобразена не първата, а втората производна, в кафяв цвят. В задача от статията се споменава, че на на четирима ученици било зададено да открият математически обосновано доказателство за факта, че g има инфлексна точка за x = –2. Поне интуитивно изглежда, че това е вярно за x = –2. Нека припомним какво е инфлексна точка. Това е място, където функцията се променя от изпъкнала към вдлъбната. Или обратно, от вдлъбната към изпъкнала. Друг начин, по който да мислиш за това, е тогава, когато наклонът (ъгловият коефициент) се променя от намаляващ към нарастващ или от нарастващ към намаляващ. Като наблюдаваме ето тук, изглежда, че наклонът е намаляващ и положителен, и достига до 0. Тогава продължава да намалява и става отрицателен. Продължава да намалява, докато не достигне точката x = –2. Сега изглежда сякаш нараства и става все по-малко, по-малко и по-малко отрицателен. Ето тук изглежда, че е 0 и продължава да нараства, като достига все по-високи положителни стойности. Действително изглежда, че в точката x = –2 функцията се променя от вдлъбната към изпъкнала. Математически обосновано доказателство е, когато използваме втората производна и видим къде пресича оста x. Кога втората производна е отрицателна това означава, че наклонът е намаляващ и функцията е вдлъбната. А там, където втората производна е положителна, означава, че първата производна е нарастваща. Наклонът на първоначалната функция е нарастващ и функцията е изпъкнала. Може да забележиш, че втората производна действително пресича оста x в точката x = –2. Не е достатъчно просто да е 0 или да достига до оста x. Необходимо е да пресича оста x, за да има инфлексна точка на това място. Като вземем това предвид, нека да разгледаме доказателствата на учениците. Това, което може да направим, е да влезем в ролята на учителя и да оценим като него различните доказателства. Първият заявява: "Втората производна на g променя знака си при x = –2." Точно това, което току-що обяснихме. Ако втората производна променя знака си като в този случай от отрицателна към положителна, значи първата производна се променя от намаляваща към нарастваща. Действително за това е подходящо да кажем, че е математически обосновано доказателство. Така че поне засега ще поставя отговора "Страхотно! Това е вярно." "Пресича оста x." Това е двусмислено. Какво пресича оста x? Ако ученик напише това, бих попитал за какво говори: за функцията, за първата производна или за втората? И бих отговорил "Моля използвай по-специфичен изказ. Това не може да се приеме за вярно доказателство." Ще прочета останалите. "Втората производна на g e нарастваща за x = –2." Това обаче не доказва защо там има инфлексна точка. Например втората производна е нарастваща за x = 2,5. Втората производна е нарастваща дори и за x = –1. Но на тези места няма инфлексни точки. Затова бих отговорил: "Това не доказва защо g има инфлексна точка." Отговорът на последния ученик е, че "Графиката на g показва смяна на вдлъбнатостта за x = –2." Това е вярно, но "Това не е математически обосновано доказателство." Изисква се да използваме втората производна.