Основно съдържание
12. клас (България) Профилирана подготовка Модул 3 Практическа математика
Курс: 12. клас (България) Профилирана подготовка Модул 3 Практическа математика > Раздел 1
Урок 6: Изпъкналост и вдлъбнатост на функция. Инфлексни точки- Въведение в изпъкналост и вдлъбнатост
- Изследване на вдлъбнатост и изпъкналост (графично)
- Въведение в изпъкналост и вдлъбнатост
- Въведение в инфлексните точки
- Инфлексни точки (графично)
- Решен пример: Инфлексни точки от първа производна
- Въведение в инфлексните точки
- Изследване на вдлъбнатост и изпъкналсот (алгебрично)
- Инфлексни точки (алгебрично)
- Грешки при намиране на инфлексни точки: неопределена втора производна
- Грешки при намиране на инфлексни точки: да не проверим кандидатите
- Изследване на втората производна, за да намерим инфлексни точки
- Изследвай вдлъбнатост и изпъкналост
- Намери инфлексни точки
- Преговор на вдлъбнатост и изпъкналост
- Преговор на инфлексни точки
- Инфлексни точки от графики на функции и производни
- Обосноваване, използвайки втората производна: инфлексна точка
- Обосноваване, използвайки втората производна: точка на максимум
- Обосноваване, използвайки втората производна
- Обосноваване, използвайки втората производна
- Предизвикателство: Изпъкналост, вдлъбнатост и инфлексни точки
© 2023 Khan AcademyУсловия за ползванеДекларация за поверителностПолитика за Бисквитки
Грешки при намиране на инфлексни точки: да не проверим кандидатите
Кандидати за инфлексни точки са стойности на х, в които втората производна е равна на нула или е неопределена. Но те са само кандидати! Щом ги намерим, трябва да ги проверим и да видим дали те наистина са инфлексни точки.
Искаш ли да се присъединиш към разговора?
Все още няма публикации.
Видео транскрипция
От Олга се изисква да намери къде функцията f(x) = (x – 2)^4 има инфлексни точки. Това е решението ѝ. След като разполагаме с решението на Олга,
от нас се изисква да проверим дали е вярно. Ако не е вярно, то каква грешка е допуснала? Сложи видеото на пауза и провери
какво можеш да откриеш. Нека да проследим решението ѝ. Тук намира първата производна. Така че трябва да се приложи 'верижното правило'
(производна на съставна функция). Ще се получи 4(х – 2)^3 умножено по производната на (х – 2),
което е равно на 1. Отбелязваме го като вярно. След това намираме производната на този израз. Ще се получи 3 по 4, което е 12, умножено по (х – 2)^2 умножено по производната на x,
което е точно 1. Резултатът е точно това, което тя е получила, тоест 12(х – 2)^2 Отбелязваме и това като вярно, така че
първата част на Олга изглежда добре. Втора част, където за решението
на втората производна, приравнена на 0, се получава x = 2. Това е вярно. Втората производна е 12(х – 2)^2, която приравняваме на нула. Това ще е изпълнено, само ако x = 2. Втората част е вярна. В част три Олга отбелязва, че
f има инфлексна точка за x = 2. Тя основава решението си на факта, че втората производна е нула, когато x = 2. Последното тя основава на факта, че f''(2) = 0. Част три ме притеснява, защото фактът, че втората производна е 0, когато x = 2, прави 2 подходящо число за проверка. Но преди това не може да твърдим, че за x = 2 има инфлексна точка. Инфлексна точка е мястото, където видът на функцията се променя от изпъкнала към вдлъбната или от вдлъбната към изпъкнала. Преведено на езика на втората производна, означава, че знакът ѝ се променя, като минаваме от x < 2 към x > 2. Това трябва да се провери, защото не винаги случаят е такъв. Нека да го проверим. Нека да разгледаме няколко интервала. Нека да отбележим интервала
минус безкрайност; две (-∞; 2) и отделно интервала
две; плюс безкрайност (2; +∞). Може да използваме няколко
"тестови стойности" за проверка. Вземаме предвид знака
на втората производна, и като използваме това, можем
да направим извод за изпъкналостта на f. Нека да разгледаме какво се случва. Можем да вземем стойност за проверка. Нека да изберем числото 1 от този интервал и числото 3 от другия интервал. Изчисляваме и намираме, че 1 – 2 = –1,
повдигнато на квадрат, е равно на 1. В такъв случай втората производна f''(1) = 12. Резултатът ще е положителен и ако
се избере стойност 3. Получава се (3 – 2)^2 = 1 и умножено по 12, което също е положителна стойност. За функцията излиза, че е изпъкнала. За проверените стойности
от всяка страна на числото 2 се получава, че знакът
на втората производна е положителен. В такъв случай вероятно
ни трябват по-близки стойности, но ако се разгледа по-внимателно
втората производна, можем да открием, че тя
никога няма да е отрицателна. Това е валидно за всяка стойност на x ≠ 2. Дори и ако x – 2 < 0, то се повдига на квадрат, което прави целия израз положителен. След това се умножава с положително число. Така че за всяка стойност x ≠ 2, знакът на втората производна е положителен. Това означава, че функцията е изпъкнала. Следователно нямаме инфлексна точка за х = 2, защото липсва промяна на знака, като преминаваме от
стойности на x, по-малки от 2, към стойности на x, хо-големи от 2. Втората производна не променя знака си. Отбелязваме, че част три не е вярна. Следователно липсва
инфлексна точка за x = 2, защото втората производна
не променя знака си в точката x = 2. Следователно вдлъбнатостта
на функцията не се променя.