Грешки при намиране на инфлексни точки: неопределена втора производна

Робърт трябва да намери къде g(x), което е равно на cbrt(x) (корен трети), има инфлексни точки. Това е решението му. След това ни питат: "Вярно ли е решението на Робърт? Ако не е, то къде е грешката му?". Спри видеото и се опитай да откриеш отговора самостоятелно. Добре, нека да разгледаме заедно това. Първоначалната функция g(x) = cbrt(x), което е същото като x^(1/3). В стъпка 1 изглежда, че Робърт се опитва да намери първата и втора производни. За първата производна просто ще използваме правилото за степенуване, така че ще бъде 1/3 * x по намаления степенен показател, така че това изглежда вярно. За втората производна вземаме това, умножаваме по 1/3, което ще бъде –2/9. Тогава намаляваме степенния показател –2/3, което всъщност ще бъде –5/3, така че това изглежда вярно. След това изглежда сякаш Робърт се опитва да го преработи. Все още имаме –2/9, но тогава забелязва, че това е същото нещо като x^(5/3) в знаменател. А x^(5/3) е същото нещо като cbrt(x)^5. Това цялото изглежда добре. Стъпка 1 изглежда добре. В стъпка 2 изглежда, че се опитва да намери отговор или се опитва да намери стойности за x, където втората производна е равна на 0. И действително е вярно, че това няма решение, т.е. не може да приравниш втората производна на 0. За да бъде 0, то числителят трябва да е нула. Обаче 2 никога няма да е равно на 0. Така че това е вярно. Следва стъпка 3, където заявява, че g няма инфлексни точки. Това е малко съмнително. В много случаи инфлексните точки са места, където втората производна е равна на 0, а дори и тогава не знаем дали е инфлексна точка. Ще бъде кандидат за инфлексна точка. Трябва да потвърдим, че втората производна променя знака си, когато се намира в съответната стойност за x. Но тук не може да намерим ситуация, в която втората производна е равна на 0, но трябва да си напомним, че други кандидати за инфлексни точки са тези, където втората производна не е дефинирана. Следователно Робърт не може да заяви това без да види къде втората производна не е дефинирана. Може например да каже, "При какви условия g'' е недефинирана?". Това ще бъде недефинирано, когато x = 0. 0^5, корен трети от това ще бъде 0. Но тогава се оказва, че разделяш на 0. Следователно g'' е недефинирана, когато x = 0. Тогава, когато x = 0, може да кажем, че това е кандидат за инфлексна точка. Тогава искаме да я проверим. Може да направим стандартната таблица, която сме използвали преди, където имаме интервал или интервали. Може да имаме стойности за проверка в интервалите. Трябва да внимаваме с тези. Увери се, че са показателни. Тогава да искаме да отбележим и знака на втората производна g''. След това имаме изпъкналост. Изпъкналост на g. За да бъде x = 0 инфлексна точка, ще трябва да имаме промяна в знака на втората производна, когато преминава през точката x = 0. Това означава, че изпъкналостта на g също сменя знаците си, когато преминава x = 0. Нека да вземем стойности, които са по-малки от 0, т.е. минус безкрайност до 0. След това стойности по-големи от 0 или от 0 до безкрайност. Може да проверя тези стойности. Нека да избера –1 и 1. Трябва да внимаваш, когато използваш тези, и да се увериш, че си достатъчно близо, така че нищо необичайно не се случва между тези стойности, докато не стигнем до точката, кандидат за инфлексна. А сега, какъв е знакът на втората производна, когато x = –1? Когато x = –1. Нека да видим, това е –1^5, което е равно на –1. cbrt(–1) = –1. Следователно ще имаме –2/9, разделено на –1. Ще бъде 2/9. Тоест знакът тук ще бъде положителен. И това по принцип ще е вярно, когато имаме коя да е отрицателна стойност, защото ако вземеш коя да е отрицателна стойност на пета степен, отново ще бъде отрицателна. Имаш корен трети от това и отново получаваш отрицателна стойност. Тогава обаче имаш отрицателна стойност, разделена на това. Ще получиш положителна стойност. Може да се успокоиш, че тези стойности за проверка са показателни за целия интервал. А ако имаш положителна стойност и повдигната на пета степен, ще бъде положителна. Корен трети от това все пак ще бъде положително число. Тогава обаче ще имаш –2/9, разделено на тази положителна стойност, така че това ще бъде отрицателно число. Следователно действително изпъкналостта на g се променя, когато функцията преминава през x = 0. Тогава функцията е изпъкнала, когато x < 0. Втората производна е положителна. А функцията е вдлъбната, когато x >0. Нека да запиша това. Вдлъбната. Вдлъбната, когато x > 0. Изпъкналостта се променя, когато преминава през x = 0. Това ни казва за x, нека да видим, ето тук знаците се сменят. Промяна в знака. Да кажем, че g'' сменя знака си, когато функцията преминава през x = 0. А функцията е дефинирана за x = 0. Функцията е дефинирана за x = 0. Следователно точката x = 0 е инфлексна. Инфлексна точка за x = 0. И ако познаваш графиката на корен трети, действително ще видиш, че има инфлексна точка за тази стойност. Ето, че го решихме. Робърт е сгрешил в стъпка 3. Действително има инфлексна точка. Но не, когато втората производна е равна на 0, а когато втората производна не е дефинирана.