Ако виждаш това съобщение, значи уебсайтът ни има проблем със зареждането на външни ресурси.

If you're behind a web filter, please make sure that the domains *.kastatic.org and *.kasandbox.org are unblocked.

Основно съдържание

Построяване на графики на функции с математически анализ: полиноми

Сал построява графиката на функцията f(x)=3x⁴-4x³+2, включително нейните екстремуми и инфлексни точки. Създадено от Сал Кан.

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Все още няма публикации.
Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.

Видео транскрипция

- Да видим дали сега можем да използваме всичко, което знаем за производни и за вдлъбнати функции, както и за максимални и минимални точки и за инфлексни точки, за да направим графика на функция без да използваме калкулатор за графики Да кажем, че функцията ни, f от x, е равно на 3x на четвърта минус 4x на трета плюс 2 Разбира се, винаги можете да направите графиката на функция като опитате с няколко точки, но тук искаме да обърнем внимание на точките, които ни интересуват и после просто да намерим общата форма на функцията. Особено ни интересуват нещата, които можем да изведем от функцията чрез инструментариума си за висша математика (или инструментариума за производни) Първото нещо е да открием критичните точки Записвам тук – търсим критичните точки Нека ви напомня какво са критичните точки – това са точките, където производната f от е 0 Значи, критичните точки са f едно от x е равно на 0 или е неопределено - Тази функция изглежда диференцируема навсякъде, значи ще ви кажа, че вероятно критичните ни точки ще са само тези, където f прим от x ще е равно на 0 Тази производна, f прим от x, ще бъде определена в цялата общност Всъщност, нека сега запишем производната Производната на това, f прим от x, е простичка за намиране Производната на 3x на четвърта, 4 по 3 е 12, 12x на … просто ще снижим 4 с 1,3 Нали ? Просто умножаваме по степента и после намаляваме новата степен с 1, минус 3 по 4 е 12, по x на с 1 по-малко от 3 е 2 И после, наклонът на константа е, както можете да си представите, 0 Не се променя Константата, по дефиниция, не се променя Значи, това е f прим от x Нека наперим критичните точки Критичните точки са там, където това или ще е равно на 0, или ще е неопределено Мога да погледна цялата общност от реални числа и това ще ни е определено навсякъде Мога да сложа което и да е число тук И винаги ще получа отговор за функцията Значи е дефинирана навсякъде, значи нека просто да намерим кога е равна на 0 Значи, f прим от x е равно на 0 Нека решим … няма нужда да преписвам това - Да решим за когато това ще е равно на 0 Ще използвам същия цвят Значи, 12x на трета минус 12x на квадрат е равно на 0 Да видим как можем да решим това Можем да извадим 12x Значи, ако извадим 12x, този член ще стане просто x,... Всъщност, нека извадим 12x на квадрат Вадим 12x на квадрат Ако разделим тези два члена на 12x на квадрат, този член ще бъде просто x, а минус 12x на квадрат далено на 12x на квадрат е просто 1, е равно на 0 Токy-що преписах това горе така Можеше да тръгнем и отдругъде Ако разпръсна това 12x на квадрат по цялото това количество, мога да намеря производната така Но реших да процедирам по този начин, защото търся всички x, които правят уравнението 0 И сега уравнението ми е в подходяща форма - умножение на едно нещо с друго За да може това да е 0, едно от тези двете или и двете от тях трябва да са 0 Значи, 12x на квадрат е равно на 0, което значи, че x е равно на нула, за да ни е равно това цялото на 0 Другия начин да получим 0 е ако x минус 1 е равно на 0 Значи, x минус 1 е равно на 0 когато x е равно на 1 Това са две критични точки Критичните ни точки са x равно на 0 и x равно на 1 И помнете, че това са само точките, в които първата ни производна е 0 или в които наклона е 0 Те може да са максимални или минимални точки, или пък инфлексни точки, не знаем Дори, ако това ни е константна функция, могат да бъдат които и да е точки Така, че още не можем да кажем много за тези критични точки, но те ни интересувам Това е всичко, което можем да кажем Определено ни интересумат Нека продължим и опитаме да разберем вдлъбнатостта и може би ще разберем повече за тази графика Нека намерим втората производна Ще взема оранжево Втората производна на функцията ми f, да видим, 3 пъти 12 е 36 x на квадрат минус 24x - Да видим Можем да постъпим по няколко начина Тъй като ни е известна втората производна, можем да си отговорим на въпроса – нагоре или надолу е вдлъбната функцията в тези точки ? Нека открием това за критичните ни точки - И всичко ще си дойде на мястото Спомнете си, че ако е вдлъбната нагоре, ще имаме нещо като формата на 'U' А пут ако е вдлъбната надолу, ще имаме форма, която прилича на 'П' Значи, f прим прим, втората ни производна, при това x равно на 0, ще е равна на какво ? Равна е на 36 0 на квадрат минус 24 минус 0 Това е просто 0 Значи, f прим прим е равно на 0 Тук, няма вдлъбнатост нито нагоре, нито надолу Може би това е преходна точка А може би не Ако е преходна точка, значи се занимаваме с инфлексна точка Още не сме сигурни Да видим, каква ни е f прим, втората производна, изчислена при 1 Това е 36 по 1, нека го запиша, това е равно на 36 по 1 на квадрат, което е 36, минус 24 по 1 Значи е 36 минус 24, значи е равно на 12 Значи, втората ни производна е положителна Тавно е на 12, което означава, че наклонът ни се увеличава Темпото на промяна на наклона ни е положително Значи, в тази точка, имаме вдлъбнатост нагоре - Което ми подсказва, че това вероятно е минималната точка, нали ? Наклонът е 0 тук, но в тази точка имаме вдлъбнатост нагоре Това е интересно Да видим, дали е възможно да имаме други инфлексни точки тук Вече знаем, че това ни е потенциална инфлексна точка Нека я очертая с червено Това е потенциална инфлексна точка Не знаем дали функцията всъщност се обръща в тази точка Трябват ни малко опити, за да видим дали случаят е такъв Но нека видим дали има други инфлексни точки, или потенциални инфлексни точки Да видим, дали това ще ни е 0 някъде другаде Значи, 36 x на квадрат минус 24 x е равно на 0 Да решим за x Можем да извадим 12x 12x по 3x, нали, 3x по 12x е 36x на квадрат минус 2, е равно на 0 Значи тези два израза са равностойни Ако умножим това, ще получим това горе Значи, това ще ни е равно на 0 или ако 12 x е равно на нула – значи ако x е равно на 0 Значи, при x е равно на 0, това ще ни е равно на 0 Значи, тук втората производна е 0 ивече знаем това, защото изпробвахме това число Или това, ако този израз е 0, значи втората ни производна също ще ни е 0 Нека запишем това Значи, 3ь минус 2 е равно на 0, 3x е равно на 2, просто добавям 2 от двете страни, 3x е равно на 2/3 Това е друга интересна точка, за която преди не сме се сещали, че може да е инфлексна точка Причината да може да е такава е, че втората производна определено е 0 тук Слагаме 2/3 тук и получаваме 0 Значи, тук трябва да проверим дали втората производна е положителна или отрицателна от двете страни на 2/3 Вече усещаме това Но можем да проверим с няколко числа Ако кажем, че ь е по-голямо от 2/3 Нека малко се придвижа надолу, за да имаме повече място Да видим какво става когато x е по-голямо от 2/3 Каква ни е f прим прим ? Каква е втората производна ? Да опитаме с близка стойност, за Да опитаме с близка стойност, за Нека препиша това, f прим от x е равно на, нека запиша така, за да ни е по-лесно - - Равно на 12x по 3x минус 2 Значи, ако ь е по-голямо от 2/ 3, този член тук ще ни е положителен Това е сигурно, защото всяко положително число, умножено по 12, дава положително Но какво да кажем за този член тук ? 3 по 2/3 минус 2 е точно 0, нали ? Имаме 2 минус 2 Но всичко, по-голямо от това, 3 пъти... ако имам 2, 1/3, това ще е положителна стойност Всяка стойност на x, по-голяма от 2/3, ще направи това тук положително Нали така ? Това също ще ни е положително Това означава, че когато x е по-голямо от 2/3, втората производна ще е положителна Ще е по-голяма от 0 Значи, в нашата общност, стига x да е по-голямо от 2/3, вдлъбнатостта е нагоре И това го видяхме тук, при x е равно на 1 Там функцията беше вдлъбната навътре Ами когато имаме число, по-малко от 2/3 Нека напиша, когато x е по-малко от 2/3, нека се придвижа надолу Какво се случва когато x е по-малко от 2/3? Ще го препиша f прим прим от x, втората производна 12 x по 3 x минус 2 Ами, ако отидем много наляво, тук ще получим отрицателно число Но ако сме точно под 2/3, ще останем в положителната общност Ако това беше, да речем, 1,9/3 (това е комбинация от десетична и обикновена дроб), или дори 1/3, това все още ще ни е положително Точно под 2/3, това още ще ни е положително - Но какво се случва тук ? - При 2/3, имаме точно 0 Но като имаме нещо по-малко от 2/3, 3 по 1/3 е само 1 И имаме 1 минус 2 – получават се отрицателни числа Значи, когато ь е по-малко от 2/3, това тук ще ни е отрицателно Значи, ако ь ни е по-малко от 2/3, втората производна на x ще стане по-малка от 0 - Значи имаме промяна в знака – когато x е по-малко от 2/3, имаме отрицателна втора производна и когато е по-голямо от 2/3, имаме положителна втора производна Това ни казва, че наистина става дума за инфлексна точка x равно на 2/3 определено е инфлексна точка за първоначалната ни функция Сега, имаме още една потенциална инфлексна точка и след това сме готови да чертаем графиката След като намерите всички инфлексни точки и максималната и минималната сойности, сте готови да чертаете графиката на функцията Да видим, дали x равно на 0 ни е инфлексна точка Знаем, че втората ни производна е 0 при 0 Но какво се случва точно под и над втората производна ? Нека направим малкия тест тук Нека сложа една черта тук, за да не се объркаме с всички неща, написани тук Значи, когато x е по-голямо от 0, какво се случва с втората производна ? Спомнете си, че втората ни производна беше равно на 12x по 3x минус 2 Обичам да записвам по този начин, защото сме разложили на две линейни уравнения и можем да видим дали те са положителни или отрицателни Ако x е по-голямо от 0, това тук определено ще бъде положително. а това тук, веднага след като x стане по-голямо от 0... трябва да сме много близо до това число, нали ? Нека вземем 0,1 Точно над 0 Значи, това ще бъде вярно за всяко x, по-голямо от 0 Искаме да видим какво точно се случва, когато имаме число малко по-голямо от 0 Значи, имаме 0,1 Ще се получи 0,3, 0,3 минус 2 е отрицателно число, нали ? Значи, щом x стане по-голямо от 0, това тук става отрицателно Значи, при x по-голямо от 0, втората производна ще бъде по-малка от 0 Графиката е вдлъбната нагоре И в това има логика, защото в някоя точка трябва да имаме промяна Спомнете си, че вдлъбнатостта беше надолу преди да стиглем до 2/3, нали така ? Знахи имаме последователност От 0 до 2/3, графиката е вдлъбната надолу, а при 2/3 става вдлъбната нагоре Сега, да видим какво ще се случи когато x е мъничко под 0 Пак ще повторя, че f прим, втората производна на x, е равно на 12x по 3x минус 2 Така, добре Ако x беше минус 0,1 или 0,0001, няма значиение, този израз тук все ще ни е отрицателен 12x – тук просто трябва да имаме някаква отрицателна стойност и, умножена по 12, пак ще даде отрицателно число И после, какво ще стане с това ? Ами, 3 пъти по минус 0,1 ще стане минус 0,3, минус 2 ще стане минус 2,3 Определено ще имаме отрицателна стойност Тази стойност ни е отрицателна и после, когато извадим от отицателна стойност, поределено пак ще получим отрицателна стойност Значи, това също ще ни е отрицателно Но ако умножим отрицателна по положителна стойност, получаваме положителна стоност Значи всъщност, точно под x по-малко от 0, втората ни производна е положителна - Може всичко това да е било малко объркващо, но сега ще видим ползата - - Знаем, че при ь е равно на 1 ... ит ожер хере. Когато x е равно на 1, наклонът е 0 Значи, f прим прим е... извинете, нака го запиша така Знаем, че наклонът е 0 - И открихме това от това, че първата производна е 0 Това ни беше критична точка Знаем, че в тази точка, функцията ни е вдлъбната нагоре И оттова разбираме, че това ни е минимална точка. - Сега ни трябват точните координати, за да можем да отбележем върху графиката отбележем върху графиката Значи, f от 1 е равно на какво ? Да се върнем към първоначалната функция, f от 1 ни е 3 пъти 1, нали, 1 на червърта ни е просто 1, 3 по 1 минус 4 плюс 2, нали ? Значи, имаме 3 по 1 минус 4 по 1, което е минус 1, плюс 2 Ами, това ни е плюс 1 Значи, f от 1 е 1 Открихме също, че при x е равно на 0, наклонът ни ще е равен на 0 Но открихме и, че това е инфлексна точка, нали ? Защото вдлъбнатостта се променя преди и след нея Значи, това ни е инфлексна точка - И когато x е по-малко от 0, вдлъбнатостта е нагоре - Втората ни производна е положителна И когато x е по-голямо от 0, вдлъбнатостта е надолу - Точно след 0, функцията е вдлъбната надолу И после, какво е ф от 0, нека видим, за да можем да начертаем тази точка f от 0 Да видим, това е лесно 3 по 0 минус 4 по 0 плус 2 – това е 2 ф от 0 е 2 И накрая имаме и тази точка, x е равно на 2/3 - Нека я направя в друг цвят Имахме точката x е равно на 2/3 И открихме, че това е инфлексна точка Наклонът тук определено не е 0, защото това не е една от критичните ни точки И знаем, че вдлъбнатостта е надолу Знаем, че когато ь е по-малко от 2/3, дори с мъничко, вдлъбнатощта е надолу И, както видяхме, когато е по-голямо от 2/3, функцията ни е вдлъбната нагоре Втората производна беше положителна И беше вдлъбната нагоре - Всъщност, вече можем да открием f от 2/3 Но това е малко сложно А и може би не ни е нужно, за да направим графиката Мисля, че можем добре да я начертаел и с информацията, която имаме сега - Нека направя един груб чертеж Да видим Нека направя осите, ето така Искаме да маркираме точката 0,2 Значи, това е ь равно на 0 и отиваме нагоре – 1, 2 Значи, това е точката 0, 2 Може би ще взема този цвят, който използвах Ето я точката тук После имаме точката ь, имаме f от 1, което е точката 1, 1, нали така ? Значи, тази точка тук - Това е точката 1, 1 Това беше точката 0,2 И сега имаме x равьно на 2/3, което е наща инфлексна точка Значи, когато x е 2/3, не знаем точно колко е f от 2/3 Може би е някъде тук Да кажем, че f от 2/3 е ето тук Значи, това е точката 2/3 и това ни е числото f от 2/3 (каквото и да е то), изглежда като 1 цяло и нещо f от 2/3... Ако искате, можете да го пресметнете, за да можете да заместите във функцията Но сме готови да начертаем графиката Така, знаем, че при x е равно на 1, наклонът е 0 Знаем, че наклонът е 0... Тук е равно И знаем, че функцията е вдлъбната нагоре Изглежда ето така, като това върху този интервал Вдлъбнато нагоре Знаем, че функцията е вдлъбната нагоре от x е равно на 2/3 нататък, нали ? Нека взема този цвят при x равно на 2/3 и нагоре, вдлъбната нагоре Затова начертах тази форма на 'U' Сега, знаем, че когато x е по-малко от 2/3 и по-голямо от 0, вдлъбнатостта е надолу Значи графиката ще изглежда така при този интервал Ще е вдлъбната надолу Нека начертая това хубаво В този интервал, наклонът се намалява Ще видите това най-ясно, ако чертаете допирателни линии Тук е сравнително равно е става все по- отрицателно до инфлексната точка и после пак започва да се увеличава, за щото се връщаме към вдлъбнатост нагоре И накрая, последният ни интервам е под 0 Знаем, че при x по-малко от 0, функцията е вдлъбната нагоре Значи графиката изглежда така - Знаем и че x равно на 0 е критична точка, Наклонът е О Значи, графиката е равна и тук Значи, това е инфлексна точка, където наклонът също е 0 Това ни е графиката Готови сме След всичката тази работа, успяхме да използваме уменията си по висша математика и знанията си за инфлексни точки, вдлъбнатост и промени в длъбнатостта И успяхме да начертаем тази доста заплетена графика Тя трябва да изглежда ето така, ако я начертаете с помощта на калкуматор -