If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ако си зад уеб филтър, моля, увери се, че домейните *. kastatic.org и *. kasandbox.org са разрешени.

Основно съдържание

12. клас (България) Профилирана подготовка Модул 3 Практическа математика

Курс: 12. клас (България) Профилирана подготовка Модул 3 Практическа математика > Раздел 1

Урок 3: Механичен смисъл на понятието производна
Математика
12. клас (България) Профилирана подготовка Модул 3 Практическа математика
Приложения на математическия анализ
Механичен смисъл на понятието производна
© 2023 Khan AcademyУсловия за ползванеДекларация за поверителностПолитика за Бисквитки

Анализ на задачи, включващи скорост на изменение в приложен контекст

Класна стая на Google
Диференциалното смятане е изцяло свързано с моментното изменение на скоростта. Нека да видим как това може да се използва за решаване на задачи от реалния свят.
Един начин за интерпретиране на производната f, prime на функцията f е като разгледаме f, prime, left parenthesis, k, right parenthesis като моментната скорост на изменение на f за x, equals, k. Нека да видим как това тълкуване може да се приложи за решаване на практически задачи.
Резервоар с се пълни с вода и обемът на водата, даден в литри, след t секунди е представен чрез линейната функция V, start subscript, 1, end subscript, left parenthesis, t, right parenthesis, equals, start fraction, 2, divided by, 3, end fraction, t.
Дадена е графиката на функцията V с долен индекс 1. Върху оста х е означено времето в секунди, от минус 1 до 10. Върху оста у е нанесен обема в литри. Графиката представлява права. Правата започва в точка (0; 0) и се издига нагоре през точка (6; 4).
Наклонът на функцията, start fraction, 2, divided by, 3, end fraction, представлява скоростта ѝ на изменение. С други думи, резервоарът се пълни със скорост start fraction, 2, divided by, 3, end fraction литра в секунда.
Графиката на функцията V с долен индекс 1 започва от точка (0; 0), издига се нагоре през точките (3; 2) и (6; 4), и завършва в първи квадрант. Стрелка съответства на момент от + 3 секунди и се движи надясно от точка (3; 2) до точка (6; 2). Стрелка, съответстваща на + 2 литра се издига от точка (6; 2) до точка (6; 4).
Скоростта на изменение на линейна функция винаги е константа, което я прави относително лесна за приложение.
Нека да имаме друг резервоар, който се пълни, и този път обемът е даден чрез нелинейната функция V, start subscript, 2, end subscript, left parenthesis, t, right parenthesis, equals, 0, comma, 1, t, squared.
Дадена е графиката на функцията V с долен индекс 2. Върху оста х е означено времето в секунди, от минус 1 до 10. Върху оста у е нанесен обема в литри. Графиката представлява крива. Кривата започва в точка (0; 0) и се издига нагоре през точките (3; 0,9) и (7; 4,9) и завършва в първи квадрант.
Забележи как графиката нараства постепенно в началото, след което става по-стръмна към края си. Скоростта на изменение на V, start subscript, 2, end subscript не е постоянна.
Ако искаме да анализираме скоростта на изменение на V, start subscript, 2, end subscript, можем да разгледаме моментната ѝ скорост на изменение за всеки определен момент от време. Моментната скорост на изменение на функция представлява производната на функцията.
V, start subscript, 2, end subscript, prime, left parenthesis, t, right parenthesis, equals, 0, comma, 2, t
Например, V, start subscript, 2, end subscript, prime, left parenthesis, 5, right parenthesis, equals, 1. Математически това означава, че наклонът (ъгловият коефициент) на допирателната към графиката на V, start subscript, 2, end subscript в точката x, equals, 5 е 1. Какво означава това по отношение на резервоара с вода?
Към графиката на функцията V с долен индекс 2 има допирателна, която започва в четвърти квадрант, движи се нагоре и допира кривата в точката (5; 2,5), след което завършва в първи квадрант.
Наклонът на допирателната е показател за наклона на кривата в определен момент от време. След като вече видяхме как наклонът ни дава скоростта на изменение, можем да разглеждаме V, start subscript, 2, end subscript, prime, left parenthesis, 5, right parenthesis, equals, 1 по следния начин:
В момента t, equals, 5 секунди резервоарът се пълни със скорост 1 литър за секунда.
Забележи няколко неща относно тази интерпретация:
Първо, скоростта на изменение е дадена в литри за секунда. Мерните единици на производната са винаги отношението на зависимото количество (в случая литри) върху независимото количество (в случая секунди).
Второ, скоростта се определя за конкретен момент от време (t, equals, 5 секунди). Това е така, защото е моментна. Вземи друг момент от време и скоростта може да е различна. Ако погледнеш интервала от време, ще видиш, че скоростта не е постоянна.
Задача 1.а
  • Електричен ток
В Задача 1 ще анализираме следната ситуация:
Линдзи върви към вкъщи от училище. Разстоянието от училище, в метри, след t минути, е определено от диференцируемата функция D.
Какви мерни единици трябва да използваме, за да измерим D, prime, left parenthesis, t, right parenthesis?
Избери един отговор:

Задача 2
H ни дава височината на дърво в сантиметри t седмици след като е засадено.
Четирима ученици трябва да разтълкуват значението на H, prime, left parenthesis, 5, right parenthesis, equals, 3 в дадения контекст.
Можеш ли да свържеш коментарите на учителя с отговорите?
1

Често срещани грешки: Забравяне на мерните единици или използване на неправилни мерни единици

Запомни: В практическите задачи винаги се записват мерните единици.
Например в задача 2 аргументът на функцията H е величина, която се измерва в седмици, а изходната стойност е величина, която се измерва в сантиметри. Производната на функцията H, prime също има аргумент, който се измерва в седмици, а изходната стойност е скоростта, измерена в сантиметри на седмица.

Друга типична грешка: Употреба на фрази, които се отнасят за “интервал от време”, а не за "момент от време".

Производните се отнасят за моментна скорост на изменение. Ето защо, когато интерпретираме скоростта на изменение на функция чрез стойността на производната ѝ, винаги я свързваме с конкретен момент от време, за който се отнася.

Решаване на задачи, които включват моментна скорост на изменение

Разгледай следната задача:
Карлос е взел първоначална доза от предписаното му лекарство. Количеството на лекарството в милиграми в кръвта на Карлос след t часа е определено с функцията:
M, left parenthesis, t, right parenthesis, equals, 20, dot, e, start superscript, start superscript, minus, 0, comma, 8, t, end superscript, end superscript
Каква е моментната скорост на изменение на оставащото количество от лекарството след 1 час?
Първото нещо, което трябва да се досетим, когато четем задачата, е, че ни питат за моментната скорост на изменение на количество. Това означава, че трябва да използваме производни.
Единствената функция, чиято производна можем да използваме, е M, но нека се уверим, че именно тя ни е нужна: M представлява количеството лекарство в кръвта на Карлос в течение на времето и от нас се изисква да намерим моментното изменение на това количество. Следователно трябва да използваме M, prime:
M, prime, left parenthesis, t, right parenthesis, equals, minus, 16, dot, e, start superscript, minus, 0, comma, 8, t, end superscript
Търси се моментното изменение след 1 час, което означава, че трябва да изчислим M, prime за t, equals, 1:
M, prime, left parenthesis, 1, right parenthesis, equals, minus, 16, dot, e, start superscript, minus, 0, comma, 8, end superscript, approximately equals, minus, 7, comma, 2
Накрая да си спомним да използваме мерните единици. След като M представя количество в милиграми за въведено количество часове, единиците, в които измерваме M, prime, са милиграми на час.
В заключение можем да кажем, че моментното изменение на оставащото количество от лекарството след 1 час е minus, 7, comma, 2 милиграма на час.
Задача 3
C представлява цената в долари за унищожаването на w паунда конфиденциални документи на една компания.
C, left parenthesis, w, right parenthesis, equals, 0, comma, 001, w, cubed, minus, 0, comma, 15, w, squared, plus, 7, comma, 5, w
Какво е моментното изменение на цената, когато теглото на документите е 10 паунда?
Избери един отговор:

Искаш допълнителни упражнения? Опитай тази задача.

Често срещана грешка: Изчисляване на стойността на първоначалната функция, вместо производната ѝ.

Запомни: Когато ни питат за скоростта на изменение на функция f, търсим производната ѝ f, prime. Ако изчислим стойността на f в дадена точка, няма да получим информация за скоростта на изменение на f в тази точка.

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Вписване в профила
Все още няма публикации.
Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.