Тълкуване на значението на производните при решаване на текстови задачи

Знаем, че Еди е шофирал от Ню Йорк до Филаделфия. Функцията D определя пълното разстояние в километри, което Еди е пропътувал, t часа след като е потеглил. Какво е най-точното обяснение за следното твърдение? D' от 2 е равно на 100. Спри видеото, и те насърчавам да опиташ да решиш задачата самостоятелно. Какво означава това според теб? Увери се, че използваш правилните мерни единици. Хайде сега да я решим заедно. Ако с D е означено разстоянието, т.е. пропътуваното разстояние, то за да намерим D', търсим производната от D спрямо времето t. Един начин да разглеждаш това е, че D' е скоростта на изменение на D. Може да приемем, че D' ни дава моментната скорост на изменение. И двата израза са функция на времето t. Можеш да разглеждаш D' от 2 равно на 100 е... Всъщност на какво е равно времето в този момент? Това е t, което се измерва в часове. Тоест, 2 часа. Нека да го означа с някакъв цвят. Следователно два часа след потеглянето... след потеглянето... Еди пътува. Нека да поправя тази дума, за да е граматически правилно. Еди пътува с някаква моментна скорост. Нека да използвам различен цвят за тази част. Моментната скорост е 100, а какви са мерните единици? Разстоянието е дадено в километри, тогава сега ще получим километри за единица време. Километри в час, така че тази стойност 100 е километри в час. Това е обяснението, което искат от нас. Нека да решим още един пример. Дадено е, че резервоар се изпразва от водата. Функцията V определя обема течност в резервоара в литри след t минути. Какво е най-точното обяснение за следното твърдение? Наклонът на допирателната към графиката на функцията V в точката t = 7, е равен на –3. Спри видеото отново и се опитай да направиш това, което току-що направихме в предния пример. Напиши обяснението и се увери, че използваш правилните мерни единици. Добре, нека да разберем за какво става дума в задачата. V представлява обема като функция на времето. Обемът е даден в литри, а времето в минути. Споменават наклона на допирателната към графиката. Наклонът на допирателната към графиката на функцията V, ще бъде равен на V'. Тоест, ако намерим производната на V спрямо времето, то това ще ни даде V'. И двата израза са функция на времето t. И двата са функция на t. Казват ни, че в момент от време t = 7, наклонът е равен на –3. Ето това V' е равно на наклона на допирателната права. Казват ни, че V' в момент от време t = 7 минути, т.е. скоростта на изменение на обема спрямо времето t, е равна на –3. Ако трябва да го запишем, може да заявиш, че това означава, че след 7 минути, резервоарът ще се изпразва с моментна скорост... ето затова имаме нужда от математическия анализ – заради моментната скорост. Сега може да се изкушиш да кажеш, че резервоарът се изпразва с моментна скорост от –3 литра в минута. Припомни си обаче, че знакът минус пред 3 показва просто, че обемът намалява. Можеш да считаш, че този отрицателен знак вече е взет предвид, когато са ни казали, че резервоарът се изпразва. Ако знакът тук беше плюс, то това означава, че резервоарът се пълни. Следователно резервоарът се изпразва с моментна скорост от 3 литра в минута. 3 литра в минута. А как разбрах, че мерните единици са литри в минута? Функцията на обема е дадена в литри, а времето е дадено в минути. Тогава, намирам производната спрямо времето t, която ще бъде в мерни единици литри на минута. И сме готови!