Определяне на общо изминато разстояние чрез производни

Местоположението на частица, която се движи по числова ос е дадено като функция s от t и е равно на 2/3 по t^3 минус 6 по t^2 плюс 10 по t, като t е по-голямо или равно на 0, където t е времето в секунди. Частицата се движи наляво и надясно в първите 6 секунди. На какво е равно пълното разстояние, изминато от частицата в интервала t по-голямо или равно на 0 и по-малко или равно на 6? Нека първо да си припомним какво означава пълно разстояние. Ако избера начало ето тук, и ако искам да се преместя 3 позиции надясно, а след това 4 позиции наляво, и избера минус 4, за да покажа, че се движа наляво, тогава пълното разстояние ето тук ще бъде равно на 7 позиции. 3 надясно и 4 наляво. Въпреки, че позицията ми ето тук ще бъде равна на минус 1. Или може би ще кажеш чистото изминато разстояние, или моето преместване е равно на минус 1. Намирам се една позиция наляво, спрямо началната позиция. Пълното разстояние е равно на 7. Сега вече изяснихме това. Насърчавам те да спреш видеото и да се опиташ да отговориш на въпроса. На какво е равно пълното изминато разстояние от частицата в тези първи 6 секунди? Най-лесният начин, по който се досещам да разгледам задачата, е: кога тази частица се движи надясно и кога се движи наляво? Ще се движи надясно, когато скоростта ѝ е положителна, а ще се движи наляво, когато скоростта ѝ е отрицателна. Задачата всъщност се свежда до това да намерим кога скоростта е положителна или отрицателна. За да помислим върху това, нека всъщност да начертаем функцията на скоростта или просто да я скицираме. Този израз е функцията на местоположението. Функцията на скоростта ще бъде равна на производната от функцията на местоположението спрямо времето. Производната на 2/3 по t на трета степен ще бъде равна на 2 по t на квадрат. След това се получава минус 12 по t плюс 10. Нека се опитаме да го начертаем. Ще изглежда като парабола. Изразът определено е от втора степен. Коефициентът пред члена на втора степен, т.е. пред t на квадрат, е положително число, така че определено ще бъде отворена нагоре парабола. Ще изглежда като нещо такова. И предполагаме, че направлението се променя. Следователно ще бъде положителна през част от времето и отрицателна през друга част от времето. Там, където е отрицателна, следва да пресича оста х. Функцията ще е отрицателна в ето този интервал и ще бъде положителна извън него. Най-лесното нещо, за което се досещам да направя, е да се опитаме да намерим на какво е равно t, когато функцията е равна на 0. Тогава може да начертаем тази отворена нагоре парабола. За да намерим нулите, нека да приравним този израз на 0. Получаваме 2 по t на квадрат минус 12 по t плюс 10 е равно на 0. Разделяме двете страни на 2, за да се отървем от тази двойка и да направим коефициента пред най-високата степен равен на 1. Получаваме t на квадрат минус 6 по t плюс 5 е равно на 0. Сега е много по-лесно да го разложим. Този израз може да се разложи на t минус 1 по t минус 5. –1 по –5 е равно на 5. –1 плюс –5 е равно на –6. Това е равно на 0. Лявата страна на уравнението ще бъде равна на 0, когато кой да е от тези два израза е равен на 0. Получава се 0, когато тези два израза са равни на 0. Всъщност, получава се 0, когато кой да е от тях е равен на 0. Следователно t е равно на 1 или t е равно на 5. Нека сега да го начертаем. Нека да начертаем нашите оси. Може да означа това да е моята ос на скоростта. И нека да начертая... интересуваме се само от положителните стойности на времето. Нека да начертаем нещо такова. Положителни стойности за времето. Нека да видим. Нека да означим тези 1, 2, 3, 4, 5. И така нататък. И така, ето тази позиция е t = 1. Тази позиция е t = 5. Това е нашата ос t. Нека да начертаем графиката. Ще бъде отворена нагоре парабола. Ще пресича тези две точки. А върхът на параболата ще се намира там, където t е равно на 3, т.е. между тези две точки. Следователно ще изглежда като нещо такова. Това е единственият начин да начертаем отворена нагоре парабола, която да пресича оста t едновременно в тези две точки. Следователно ще прави ето така и така. Ще пресече оста v. Когато t = 0 всъщност може да намерим скоростта. Когато t е равно на 0, то скоростта е равна на 10. Участъкът от v, може да заявим, че е равен на 10 ето тук. Това е начинът, по който изглежда. Виждаме, че скоростта е положителна в интервала между 0 и 1. И също така е положителна, когато времето t е по-голямо от 5 секунди. Виждаме също, че скоростта е отрицателна, т.е. че частицата се движи наляво, когато времето t е между 1 и 5 секунди. Скоростта е под оста t точно ето тук. Тоест отрицателна е. Нека просто да помислим какво е местоположението на частицата във всяка една от тези точки: в момент t = 0, в момент t = 1, в момент t = 5 и в момента, който ни интересува, т.е. t равно на 6. След това нека да помислим какво разстояние следва да е изминала частицата между тези моменти. Нека да помислим върху това. Нека да направим една малка таблица тук. Нека да направим малка таблица тук. И така, това е времето, а това е нашето местоположение в избрания момент. Интересува ни момент от време 0, момент от време 1, момент от време 5 и момент от време 6 секунди. В момент от време t = 0 секунди знаем, че местоположението е равно на 0. Тоест s от 0 е равно на 0. В момент от време t =1 секунда местоположението ще бъде равно на 2/3 минус 6 плюс 10. Следователно ще се получи 4 и 2/3. Ще запиша 4 и 2/3. В момент от време t = 5 секунди, нека да видим. Ще бъде 2/3 по... Ще запиша израза. Ще се получи 2/3 по 125. Това е равно на същото нещо като 250/3, което е същото нещо като... Нека да видим, 250/3. Това е равно на същото като... 83 по 3 е равно на 249, така че това е равно на 83 и 1/3. Това е първият член. Минус 6 по 25. Получава се, че е равно на 83 и 1/3 минус 150 плюс 10 по 5. Тоест плюс 50. Това ще се опрости. –150 плюс 50 ще бъде равно на минус 100. 83 и 1/3 минус 100. Това ще бъде равно на минус 16 и 2/3. Минус 16 и 2/3 е позицията на частицата след 5 секунди. След 6 секунди ще бъде равна на 2/3 по 6 на степен 3. Трябва да запиша този израз. 2/3 по 6 на степен 3 минус 6 по 6 на квадрат. Това просто отново ще бъде равно на минус 6 на степен 3. 6 по 6 на квадрат плюс 60. Нека да видим. Как може да опростим получения тук израз? Е, тази част ето тук може да запишем като... Може да изнесем 6 на степен 3. Това е равно на 6 на степен 3 по 2/3 минус 1 плюс 60. Слизам малко надолу, за да имам повече място. И така, ще се получи 6 на степен 3 по минус 1/3 плюс 60. И нека да видим. Нека да го запишем по следния начин. Това ще бъде равно на 6 на квадрат по 6 по минус 1/3 плюс 60. Този израз ето тук е равен на минус 2. Тоест получава се минус 2 по 36. Това е равно на минус 72 плюс 60. Тоест ще бъде равно на минус 12. Този израз ето тук ще бъде равен на минус 12. Нека сега просто да помислим колко далече е стигнала частицата. Е, тя започва да се движи надясно. Движи се надясно 4 и 2/3 позиции. Нека да го запишем. Следователно ще имаме 4 и 2/3. След това започва да се движи наляво. Нека да видим, за да се придвижи от 4 и 2/3 до минус 16 и 2/3, то това означава, че е изминала отново 4 и 2/3. Изминала е 4 и 2/3 наляво, и след това е изминала още 16 и 2/3 наляво. Просто като напомняне, в момента се намираме в позиция 4 и 2/3 надясно. Следва да се върнем от 4 и 2/3 наляво до началната позиция. След това трябва да се придвижим 16 и 2/3 отново наляво. Ето защо придвижването от тази до тази позиция ще бъде 4 и 2/3 наляво, последвано от 16 и 2/3 наляво. Друг начин да мислиш за това е следният. На какво е равна разликата между тези две позиции? Ще бъде равна на 4 и 2/3 плюс 16 и 2/3. Ако запишеш 4 и 2/3 минус минус 16 и 2/3, то ще получиш същото нещо като 4 и 2/3 плюс 16 и 2/3. След това частицата се придвижва от минус 16 и 2/3 до минус 12, което означава, че изминава още 4 и 2/3 надясно. Сега тази позиция е равна на 4 и 2/3. Сега се придвижваш 4 и 2/3 надясно. Следователно просто трябва да съберем всички тези стойности. Просто следва да съберем всички тези стойности. На какво ще бъде равен този сбор? Ще се получи 2/3 по 4, т.е. ето тази част от сбора ето тук, или дробната част от него. 2/3 по 4 е равно на 8/3. Нека да видим, 4 плюс 4 плюс 16 плюс 4 е равно на 28. Следователно сборът е равен на 28 “ и 8/3. Много странен начин на запис, защото 8/3 е равно на същото нещо като 2 и 2/3. Следователно получава се 28 плюс 2 и 2/3, което е равно на 30 и 2/3. Следователно пълното изминато разстояние от частицата през първите 6 секунди е равно на 30 и 2/3 позиции.