Основно съдържание

Курс: 12. клас (България) Профилирана подготовка Модул 3 Практическа математика > Раздел 1

Урок 5: Най-голяма и най-малка стойност на функция

Преговор на абсолютни минимуми и максимуми

Прегледай как използваме диференциално смятане, за да намерим абсолютните екстремуми (минимум и максимум).

Как да намеря абсолютните (глобалните) максимуми и минимуми с диференциално смятане?

Абсолютен (глобален) максимум е точка, в която функцията приема най-високата си стойност. Аналогично абсолютен (глобален) минимум е точка, в която функцията приема най-ниската си стойност.

Око приемем, че вече знаеш как да намираш относителен (локален) минимум и максимум, намирането на абсолютните екстремуми включва още една стъпка: разглеждане на краищата в двете посоки.

Искаш ли да научиш още за абсолютните екстремуми и диференциалното смятане? Разгледай това видео.

Намиране на абсолютни екстремуми в затворен интервал

Теоремата за екстремалните стойности гласи, че една непрекъсната функция трябва да има стойности на абсолютен минимум и максимум в затворен интервал. Тези екстремуми са получени или от локален екстремум в интервала, или от крайните точки на интервала.

Например да намерим абсолютния екстремум на

h (x) = 2 x^{3} + 3 x^{2} - 12 x

в интервала

- 3 \leq x \leq 3

h^{'} (x) = 6 (x + 2) (x - 1)

, следователно критичните точки са

x = - 2

x = 1

. Те разделят затворения интервал

- 3 \leq x \leq 3

на три части:

Интервал	Стойност на $x$ ‍	$h^{'} (x)$ ‍	Заключение
$- 3 < x < - 2$ ‍	$x = - \frac{5}{2}$ ‍	$h^{'} (- \frac{5}{2}) = \frac{21}{2} > 0$ ‍	$h$ ‍ е растяща $↗$ ‍
$- 2 < x < 1$ ‍	$x = 0$ ‍	$h^{'} (0) = - 12 < 0$ ‍	$h$ ‍ е намаляваща $↘$ ‍
$1 < x < 3$ ‍	$x = 2$ ‍	$h^{'} (2) = 24 > 0$ ‍	$h$ ‍ е растяща $↗$ ‍

Сега разглеждаме критичните точки и краищата на интервала:

$x$ ‍	$h (x)$ ‍	Преди	След	Заключение
$- 3$ ‍	$9$ ‍	$-$ ‍	$↗$ ‍	Минимум
$- 2$ ‍	$20$ ‍	$↗$ ‍	$↘$ ‍	Максимум
$1$ ‍	$- 7$ ‍	$↘$ ‍	$↗$ ‍	Минимум
$3$ ‍	$45$ ‍	$↗$ ‍	$-$ ‍	Максимум

В затворения интервал

- 3 \leq x \leq 3

точките

(- 3; 9)

(1; - 7)

са локални минимуми, а точките

(- 2; 20)

(3; 45)

са локални максимуми.

$(1; - 7)$ ‍ е най-ниският локален минимум, следователно той е абсолютният минимум, а $(3; 45)$ ‍ е най-високият локален максимум, следователно той е абсолютен максимум.

Забележи, че абсолютният минимум е получен в интервала, а абсолютният максимум е получен в края.

Задача 1

f (x) = x^{3} - 3 x^{2} + 12

Каква е стойността на абсолютния максимум на $f$ ‍ в затворения интервал $[- 2; 4]$ ‍?

Искаш ли да решиш още подобни задачи? Разгледай това упражнение.

Намиране на абсолютни екстремуми в цяло дефиниционно множество

Не всички функции имат абсолютен максимум или минимум в целите си дефиниционни множества. Например линейната функция

f (x) = x

няма абсолютен минимум или максимум (може да толкова ниска или толкова висока, колкото си иска).

Обаче някои функции имат абсолютни екстремуми в дефиниционното си множество. Да анализираме функцията

g (x) = x e^{3 x}

, например.

g^{'} (x) = e^{3 x} (1 + 3 x)

, следователно единствената ни критична точка е

x = - \frac{1}{3}

Интервал	Стойност на $x$ ‍	$g^{'} (x)$ ‍	Заключение
$(- \infty; - \frac{1}{3})$ ‍	$x = - 1$ ‍	$g^{'} (- 1) = - \frac{2}{e^{3}} < 0$ ‍	$g$ ‍ е намаляваща $↘$ ‍
$(- \frac{1}{3}; \infty)$ ‍	$x = 0$ ‍	$g^{'} (0) = 1 > 0$ ‍	$g$ ‍ е растяща $↗$ ‍

Нека си представим, че вървим по графиката на

g

, като започваме най-отляво (от

- \infty

) и стигаме най-вдясно (до

+ \infty

Ще почнем да вървим надолу и надолу, докато стигнем

x = - \frac{1}{3}

. Тогава ще почнем да вървим само нагоре. Следователно

g

има абсолютен минимум в

x = - \frac{1}{3}

. Функцията няма абсолютен максимум.

Искаш ли да научиш повече за абсолютните екстремуми в цялото дефиниционно множество? Гледай това видео.

Задача 1

g (x) = \frac{\ln (x)}{x}

Каква е стойността на абсолютния максимум на $g$ ‍ ?

Искаш ли да решиш още подобни задачи? Разгледай това упражнение.

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Вписване в профила

Сортирай по:

Все още няма публикации.

Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.