Основно съдържание
12. клас (България) Профилирана подготовка Модул 3 Практическа математика
Курс: 12. клас (България) Профилирана подготовка Модул 3 Практическа математика > Раздел 1
Урок 5: Най-голяма и най-малка стойност на функция- Въведение в минимални и максимални точки
- Въведение в критичните точки
- Намиране на критични точки
- Намери критичните точки
- Тест на втората производна
- Тест на втората производна
- Теорема за екстремалните стойности (теорема на Вайерщрас)
- Решен пример: абсолютни и относителни екстреми
- Относителен максимум и минимум
- Намиране на локални екстремуми (изследване на функция)
- Анализиране на грешките при намиране на екстремуми (пример 1)
- Анализиране на грешки при намиране на екстремуми (пример 2)
- Намиране на локални екстремуми (изследване на функция)
- Абсолютен максимум и минимум
- Намиране на абсолютни екстремуми в затворен интервал
- Абсолютни минимуми и максимуми (затворени интервали)
- Абсолютни минимуми и максимуми (цяло дефиниционно множество)
- Абсолютни минимуми и максимуми (цяло дефиниционно множество)
- Преговор на абсолютни минимуми и максимуми
- Интервали на нарастване/намаляване и екстремални точки: Предизвикателство
- Интересна тригонометрична задача: максимална стойност
- Оптимизация: печалба
- Оптимизация: сбор от квадрати
© 2023 Khan AcademyУсловия за ползванеДекларация за поверителностПолитика за Бисквитки
Намиране на локални екстремуми (изследване на функция)
Изследването на функции е процесът на анализиране на функциите, използвайки първата производна, за да намерим техните екстремуми. Това включва множество стъпки, затова трябва да разгледаме този процес по начин, който ни помага да избягваме вредни пропуски и грешки.
Какво ще стане, ако ти кажем, че ако имаш уравнението на една функция, ще можеш да намериш всичките ѝ точки на максимум и минимум? Ами, вярно е! Този процес се казва изследване на функция или "Правило за определяне точката на екстремум чрез първата производна". Нека го обясним по начин, с който ще избегнем вредните пропуски и грешки.
Пример: намиране на локалните екстремуми на f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, start fraction, x, squared, divided by, x, minus, 1, end fraction
Стъпка 1: Намиране на f, prime, left parenthesis, x, right parenthesis
За да намерим локалния екстремум на f, трябва да използваме f, prime. Затова започваме с диференцирането на f:
Стъпка 2: Определяне на всички критични точки и точките, в които функцията f е неопределена.
Критични точки на функцията f са тези стойности на x от дефиниционното множество на функцията f, за които първата производна f, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 0, или за които първата производна f, prime е неопределена. Освен тези точки, трябва да потърсим тези точки, в които самата функция f е недефинирана.
Важното нещо за тези точки е, че знакът на f, prime трябва да не се променя между две последователни точки.
В нашия случай тези точки са x, equals, 0, x, equals, 1 и x, equals, 2.
Стъпка 3: Анализиране на интервалите на нарастване и намаляване
Това може да се направи по много начини, но ние обичаме да използваме таблици. В една таблица избираме стойност за всеки интервал, който е ограден от точките, които определихме в стъпка 2, и проверяваме знака на производната за тази стойност.
Това е таблицата за нашата функция:
| Интервал | Пробна стойност на x | f, prime, left parenthesis, x, right parenthesis | Заключение |
|---|---|---|---|
| left parenthesis, minus, infinity, ;, 0, right parenthesis | x, equals, minus, 1 | f, prime, left parenthesis, minus, 1, right parenthesis, equals, 0, comma, 75, is greater than, 0 | f е растяща \nearrow |
| left parenthesis, 0, ;, 1, right parenthesis | x, equals, 0, comma, 5 | f, prime, left parenthesis, 0, comma, 5, right parenthesis, equals, minus, 3, is less than, 0 | f е намаляваща \searrow |
| left parenthesis, 1, ;, 2, right parenthesis | x, equals, 1, comma, 5 | f, prime, left parenthesis, 1, comma, 5, right parenthesis, equals, minus, 3, is less than, 0 | f е намаляваща \searrow |
| left parenthesis, 2, ;, infinity, right parenthesis | x, equals, 3 | f, prime, left parenthesis, 3, right parenthesis, equals, 0, comma, 75, is greater than, 0 | f е растяща \nearrow |
Стъпка 4: Намиране на екстремуми
Сега като знаем интервалите, в които f расте и намалява, можем да намерим екстремумите. Екстремум е точка, в която f е определена и f, prime променя знака си.
В нашия случай:
- f расте преди x, equals, 0, намалява след това и е определена при x, equals, 0. Затова f има локален максимум в x, equals, 0.
- f намалява преди x, equals, 2, расте след това и е определена в x, equals, 2. Затова f има локален максимум в x, equals, 2.
- f е неопределена в x, equals, 1, затова няма локален екстремум там.
Често срещана грешка: да не проверим критичните точки
Запомни: Не трябва да приемаме, че всяка критична точка е екстремум. Вместо това трябва да проверяваме нашите критични точки, за да видим дали функцията е определена в тези точки и дали знакът на производната се променя в тях.
Често срещана грешка: да не включим точки, в които производната е неопрелена
Запомни: Когато анализираме интервали на нарастване или намаляване на една функция, трябва да търсим всички точки, в които производната е нула, и всички точки, в които функцията или нейната производна са недефинирани. Ако пропуснем някоя от тези точки, вероятно таблицата със знаците ще бъде грешна.
Често срещана грешка: да забравим да проверим дефиниционното множество на функцията
Запомни: След като намерим точки, в които функцията променя посоката си, трябва да проверим дали функцията е определена в тези точки. В противен случай това не е локален екстремум.
Упражни изследването на функция
Искаш ли още да се упражняваш? Опитай това упражнение.
Искаш ли да се присъединиш към разговора?
Все още няма публикации.