Анализиране на грешки при намиране на екстремуми (пример 2)

"Ерин трябвало да установи дали f(х) е равна на (х^2 – 1) на степен 2/3 има относителен максимум. Това е нейното решение." После са ни дали стъпките на решението ѝ и накрая ни питат дали Ерин е работила правилно. "Ако не е, каква е грешката ѝ?" Спри видеото на пауза и опитай да го решиш самостоятелно. Дали Ерин е права, или е направила грешка и къде е тя? Добре, сега да го направим заедно. Тя казва, че това е производната. Просто ще повторя тук вдясно решението ѝ. Да видим, f'(х) ще намерим с правилото за производна на сложна функция. Ще намеря производната на външната функция спрямо вътрешната. Това е равно на 2/3 по (х^2 – 1) на степен 2/3 минус 1, значи на степен –1/3, по производната на вътрешната функция спрямо х. Производната на (х^2 – 1) спрямо х е равна на 2х. (чува се сирена) Тук има пожарен хидрант, не е пожарен (смее се) хидрант, а е шумен хидрант. Отвън има пожарна кола, но мисля, че подмина. Изглежда, че тя е получила същото за производната. Защото, ако умножиш 2 по 2х, ще получиш 4х. И имаш това 3 тук в знаменателя. (х^2 – 1) на степен –1/3, това е същото като (х^2 – 1) на степен 1/3 в знаменателя, което е равно на корен трети от (х^2 – 1). Дотук всичко изглежда правилно. Това е производната, разбира се. "Стъпка 2: критичната точка е х = 0." Да видим, критичната точка е там, където първата ни производна или е равна на 0, или е недефинирана. И, естествено, изглежда, че f'(0) е равна на 4 по 0, това е 0 върху 3 по корен трети от 0 минус 1, от –1. Значи това е 3 по –1, или нула върху –3, което е 0, разбира се. Значи това е вярно. Има критична точка в х = 0. Но въпросът е дали това е единствената критична точка. Както споменах, критична точка имаме там, където производната на функцията е или нула, или е недефинирана. Това е единственият случай, когато производната е нула, но дали можеш да намериш някакви стойности на х, за които производната е недефинирана? Какво ще стане, ако направим производната, ако направим знаменателя на производната да е равен на 0? Ако (х^2 – 1) е равно на 0, корен трети от нула означава, че ще имаме нула в знаменателя. Кога х^2 – 1 е равно на 0? Когато х е равно на плюс или минус едно. Това също са критични точки, защото в тях f'(х) е недефинирана. Не ми харесва втората стъпка. Вярно е, че х = 0 е критична точка, но това не е единствената критична точка. Ще поставя въпросителен знак тук. Причината, поради която това е важно, е, че може да кажеш: " Какъв е проблемът, ако не е отбелязала другите критични точки? Тя е определила една, може това е относителният максимум." Но както сме казвали в други видео уроци, за да използваме теста с първа производна, така да се каже, и за да намерим кога първата производна е равна на нула, за да изследваме дали това е максимална или минимална точка, трябва да имаме примерни стойности и от двете страни, за да се уверим, че има промяна в знака на производната. Трябва да се увериш, че когато изследваш и от двете страни, че не пропускаш друга критична точка. Защото критичните точки са местата, където се сменя посоката. Да видим какво прави в третата стъпка ето тук. Точно в трета стъпка тя изследва стойности от двете страни на критичната точка, която е определила, единствената критична точка, която е определила. Но проблемът тук, причината това да е малко съмнително, че това е след друга критична точка, която е по-малка от нула, и това е след, това е по-голямо от другата критична точка, която е по-голяма от нула. Това е по-голямо от критичната точка в 1, и това е по-малко от критичната точка в –1. Трябвало е да провери за х = 0,5 и х = –0,5. Това е трябвало да направи, да направи проверка за –2, –1, –1/2, 0, 1/2, и после 1, където знаем, че е недефинирана, а после +2. Защото това е кандидат за екстремум, това е кандидат за екстремум, това също е кандидат за екстремум ето тук. Затова трябва да провериш в кои от тези случаи има смяна на знака на производната. Просто трябва да изследваш интервалите между екстремалните точки. Бих казал, че основната грешка, която е направила във втората стъпка, е, че не е определила критичните точки.