Решен пример: абсолютни и относителни екстреми

Искат от нас да отбележим локалните екстремуми на графиката по-долу. Спри видеото и виж дали можеш да го направиш самостоятелно, погледни екрана и виж дали можеш да определиш локалните екстремуми. Нека сега направим това заедно. Имаш локални максимуми и локални минимуми. Един локален максимум или локален минимум... лесно е да ги забележим. Виждаш един локален максимум като най-високата точка на един "хълм", а самият хълм дори не е нужно да е най-високият хълм. Например кривата може да премине до другите части на дефиниционното множество на функцията, може да достигне до по-високи стойности. Може да изглежда като върха на една планина и след като говорим за локалния максимум, върхът на планината не е нужно да е най-високият. Може да има по-високи планини и всъщност всеки от тези върхове ще е локален максимум. Локалните минимуми са обратното. Те могат да са дъната на долините ти. Това е един локален минимум. Това ето тук е един локален минимум, дори ако има други части на функцията, които са по-ниски. Има и краен случай за локален максимум и минимум и това е, когато графиката е плоска. Ако имаш части от функцията, при които тя е константа, тези точки ще са и двете. Например ако това тук е нашата ос х, това е оста х, ако това тук е оста у, а това е х = с, ако построиш отворен интервал около с, забелязваш, че стойността на нашата функция при с, f(с), е поне толкова голяма, колкото стойностите на функцията около него. И също така е поне толкова малка, колкото стойностите около нея. Така че тази точка също ще е локален минимум. Но това е краен случай, който няма да срещаш често. Като изяснихме това, нека идентифицираме локалните екстремуми. Първо локалните максимуми. Това тук е върхът на един хълм. Може да ти се иска да погледнеш тази точка и тази точка, но, забележи, при тази точка тук, ако преминеш надясно, имаш точки, които са по-високи от нея. Така че това всъщност не е върхът на хълма. И тук ако преминеш наляво, имаш стойности, които са по-високи от нея, това също не е върхът на хълма. И какво да кажем за локалните минимуми? Тази тук е локален минимум. Тази тук е локален минимум. И тази тук е локален минимум. Нека видим един пример за глобални екстремуми. Казват ни да отбележим глобалният максимум и глобалният минимум в графиката по-долу. Отново, спри видеото и виж дали можеш да решиш това. Имаш глобален максимум при да кажем, х = с, ако и само ако f(с) е по-голямо от или равно на f(х) за всички х в дефиниционното множество на функцията. И имаш глобален минимум при х=с ако и само ако f(с) е по-малко от или равно на f(х) за всички х в дефиниционното множество. Друг начин да помислим за това е, че глобалният максимум е най-високата точка. Тук това е глобален максимум. И, после, глобалният минимум е интересен, понеже в този случай ще е една от... ще е една от крайните точки на дефиниционното ни множество. Това тук е глобалният максимум, а това ето тук е глобалният минимум. Сега, отново, имаме краен случай, който няма да виждаш много често. Например, ако тази функция направи нещо такова, ако продължи нагоре ето така, а после просто остане плоска, това вече няма да е глобален максимум. Но всяка от тези точки в този плосък регион, понеже те са толкова нависоко, колкото други точки на цялата ни крива, всяка от тези ще е глобален максимум. Но в този пример си нямаме работа с такъв краен случай и не е много вероятно да срещнеш такъв. В повечето задачи е доста лесно да намерим точките. Понеже абсолютно най-високата точка на кривата често ще е глобалният максимум, а абсолютната най-ниска точка от кривата ще е глобалният минимум.