Основно съдържание
12. клас (България) Профилирана подготовка Модул 3 Практическа математика
Курс: 12. клас (България) Профилирана подготовка Модул 3 Практическа математика > Раздел 1
Урок 5: Най-голяма и най-малка стойност на функция- Въведение в минимални и максимални точки
- Въведение в критичните точки
- Намиране на критични точки
- Намери критичните точки
- Тест на втората производна
- Тест на втората производна
- Теорема за екстремалните стойности (теорема на Вайерщрас)
- Решен пример: абсолютни и относителни екстреми
- Относителен максимум и минимум
- Намиране на локални екстремуми (изследване на функция)
- Анализиране на грешките при намиране на екстремуми (пример 1)
- Анализиране на грешки при намиране на екстремуми (пример 2)
- Намиране на локални екстремуми (изследване на функция)
- Абсолютен максимум и минимум
- Намиране на абсолютни екстремуми в затворен интервал
- Абсолютни минимуми и максимуми (затворени интервали)
- Абсолютни минимуми и максимуми (цяло дефиниционно множество)
- Абсолютни минимуми и максимуми (цяло дефиниционно множество)
- Преговор на абсолютни минимуми и максимуми
- Интервали на нарастване/намаляване и екстремални точки: Предизвикателство
- Интересна тригонометрична задача: максимална стойност
- Оптимизация: печалба
- Оптимизация: сбор от квадрати
© 2023 Khan AcademyУсловия за ползванеДекларация за поверителностПолитика за Бисквитки
Въведение в минимални и максимални точки
Сал обяснява всичко относно минимални и максимални точки, както абсолютни, така и относителни. Създадено от Сал Кан.
Искаш ли да се присъединиш към разговора?
Все още няма публикации.
Видео транскрипция
Тук съм начертал графиката на функцията у = f(х). Начертал съм я за този интервал. Изглежда така, че е между 0 и някаква положителна стойност. Искам да помислим за максималната и минималната точки от графиката. Вече говорихме малко за точките на абсолютен максимум и абсолютен минимум в даден интервал. Тук те са пределно ясни. Тук имаме точка на максимум, точно в началото на нашия интервал. Като че ли е при х = 0, това е точката на абсолютен максимум в интервала. И точката на абсолютен минимум в интервала се вижда в другия край. Ако това е а, това е b, точката на абсолютен минимум е f(b). А точката на абсолютен максимум е f(a). И като че ли а = 0. Може би забелязваш, че тук има и други интересни точки. Тази точка тук, тя не е при най-голяма стойност. Не вземаме предвид тази стойност тук. Определено тя не е най-голямата стойност, която приема функцията в този интервал. Но по отношение на другите стойности около нея, кривата изглежда малко като хълм. По-широка е от другите. Локално тя изглежда малко като максимум. Ето защо тази стойност тук ще я наречем – да кажем че това тук е c. Това е c, следователно това е f(c). Ще назовем f(c) относителна максимална стойност. Нарича се относителна, понеже очевидно функцията придобива други стойности, които са по-големи от нея. Но при стойностите на х в близост до c, f(c) е по-голяма от всички тях. Подобно на това - никога не мога да кажа тази дума. Подобно на това, ако тази точка тук е d, f(d) прилича на точка на относителен минимум или на относително минимална стойност. f(d) е относителен минимум или стойност на локален минимум. Пак да кажем, че в рамките на целия интервал определено има точки, които са на по-ниско ниво. Определихме, че абсолютният минимум за интервала в х е равен на b. Но това е относителен минимум или локален минимум, понеже е по-нисък от... ако погледнем стойностите на х около d, функцията при тези стойности е по-високо отколкото когато стигнем d. Така че нека помислим. Можем да кажем, че се намираме в относителен максимум ако определим по-голяма стойност на нашата функция от всяка сред околните стойности. И сме на минимум, ако се намираме на по-малка стойност от всички съседни области. Но как можем да напишем това математически? Тук ще ви дам определението, което си е един по-формален начин да се каже това, което вече казахме. Казваме, че f(c) е относителен max, относителна максимална стойност, ако f(c) е по-голямо или равно на f(x) за всички х, които... можем да кажем на случаен принцип... за всички х, които са близо до c. Това можем да го запишем така. Но това не е много точно, защото какво означава да сме близо до c? Така че един по-точен начин на изказване е, че важи за всички х, които са в рамките на даден отворен интервал от (c – h) до (с + h), където h е някаква стойност, по-голяма от 0. Така че има ли смисъл това? Нека го погледнем. Нека определим един отворен интервал. Изглежда, че за всички стойности на х... трябва да намерим един отворен интервал... Може да има много отворени интервали, за които това е вярно. Но ако определим един отворен интервал, който изглежда така, че тази стойност тук е (с + h). Тази стойност тук е (с – h). И се вижда, че в рамките на този интервал, стойността на функцията f(с) е определено по-голяма или равна на стойността на тази функция във всяка друга част на този отворен интервал. Така че човек може да си представи – насърчавам те да спреш видеото на пауза, и да запишеш какво ще е по-формалното определение за точка на относителен минимум. Само ще запишем – нека d е нашият относителен минимум. Можем да кажем, че f(d) е точка на относителен минимум ако f(d) е по-малко или равно на f(х) за всички х в отворения интервал между (d – h) и (d + h), когато h е по-голямо от 0. Така че тук можем да намерим интервал. Да кажем, че това е (d + h). Това пък е (d – h). Функцията в този интервал f(d) е винаги по-малка или равна на всяка от другите стойности на f за всички други х в този интервал. Ето защо казваме, че това е точка на относителен минимум. И в ежедневния език, относителен максимум е, ако функцията има по-голяма стойност при c отколкото за другите х-стойностите около с. И имаме относителен минимум ако функцията заема по-ниска стойност при d отколкото при х-стойностите близо до d.