Намиране на абсолютни екстремуми в затворен интервал

Нека да кажем, че е дадена функцията f(х) е равно на 8 по натурален логаритъм от х, минус х^2. Дефинирана е в рамките на затворения интервал [1; 4]. Това е затворен интервал. Следователно включва крайните стойности 1 и 4. Може да разглеждаш това като дефиниционно множество на дадената функция, така както е дефинирана. Като вземем предвид дадената информация, т.е. дефиницията на функцията, това, което искам да направиш, е да намериш стойността на абсолютен максимум за функцията f, както е дефинирана. А f е дефинирана в ето този интервал. Дефинирана е в този затворен интервал. Насърчавам те да спреш видеото и да помислиш самостоятелно върху задачата. Теоремата на Вайерщрас за екстремните стойности гласи... Тук имаме даден затворен интервал. Ще говоря обобщено в този случай. Нека да кажем, че това е оста х и имаме някаква функция, която е дефинирана в рамките на затворен интервал. Съществуват няколко възможни случая за това как може да изглежда функцията в рамките на този затворен интервал. Може да достигнем до точка на максимум. Може да достигнем до точка на максимум в началото на интервала. Например нещо такова. Може да достигнем до точка на абсолютен максимум в края на интервала и да изглежда като нещо такова. Това е краят на интервала. А може и да достигнем до точка на абсолютен максимум някъде между двете крайни точки и да изглежда по следния начин. Може да изглежда като нещо такова. А в тази точка на максимум наклонът на допирателната е равен на 0, т.е. производната е равна на 0. Или може да имаме точка на максимум някъде в рамките на интервала, която да изглежда по този начин. И ако изглежда по този начин, то тогава производната в тази точка няма да бъде дефинирана. Има много различни допирателни, които може да начертаеш към тази точка. Това, което трябва да направим, е да проверим... т.е. да проверим различните крайни точки. Нека да проверим функцията в началото. Нека да проверим функцията и в края на интервала и тогава да сравним дали има точки, в които производната е равна на 0 или не е дефинирана. А точките, в които производната или е равна на 0, или не е дефинирана, както видяхме в предни уроци, се наричат критични точки. Във всеки случай, ще можем да... ако предположим, че това се случва в избраната точка, ще наречем тази точка критична точка. Критична точка. Това са различни точки кандидати. Може функцията да има критични точки в рамките на интервала, където например наклонът е равен на 0. Да кажем, като нещо такова. Това се случва обаче там, където има максимум или минимум. Това, което може да направим, е да намерим всички критични точки и да проверим как се повлиява функцията в стойностите, т.е. в критичните точки, и също така в крайните стойности на интервала, след което да сравним коя стойност е най-голяма. Всички тези са възможни кандидати за точка, където f достига максимална стойност. Първо, нека просто да помислим, т.е. да намерим критичните точки, защото трябва да го направим. Нека да намерим производната на функцията f. f' от х ще бъде равно на следното. Производната от натурален логаритъм от х е равна на 1/х, т.е. ще се получи 8/х минус 2х. Нека да приравним този израз на 0. Нека да се фокусираме върху този израз тук. Може да прибавим 2х към двете страни и ще получим, че 8/х е равно на 2х. Умножаваме двете страни по х, получаваме, че 8 е равно на 2х на квадрат. Разделяме двете страни на 2 и получаваме, че 4 е равно на х на квадрат. И ако искаме напълно да решим уравнението, то ще получим, че х е равно на плюс или минус 2. Дадено е, че функцията е дефинирана само в рамките на този интервал, така че –2 не е част от дефиниционното множество. Следователно ще се фокусираме само върху х равно на 2. Тази точка тук определено е критична точка. Намерили ли сме обаче всички критични точки? Критични точки. Това е единствената точка, която е различна от –2. Единственото число в рамките на интервала, което удовлетворява условието f' от х да е равно на 0. А в кои точки f' от х не дефинирана? Производната f' от х няма да е дефинирана единствено ако поставим числото 0, ето тук в знаменателя, но 0 не е в дадения интервал, така че единствената критична точка е х равно на 2. А сега просто следва да проверим стойностите на f в различните крайни точки и критични точки и да разберем къде стойността на функцията е най-висока. Ще проверим f от 1. f от 1 е равно на 8 по натурален логаритъм от 1 минус 1 на квадрат. Проверяваме f от 4, което е равно на 8 по натурален логаритъм от 4 минус 4 на квадрат, което, разбира се, е равно на 16. Проверяваме и за 2. Тези точки са крайните, а тази е критичната точка. 8 по натурален логаритъм от 2 минус 2 на квадрат. Коя от тези стойности ще бъде най-висока? Изкушаващо е да извадиш калкулатора, но всъщност нека да видим дали може да придобием малко усещане тук. Натурален логаритъм от 1 е равно на 0. е на степен 0 е равно на 1. 8 по 0 е равно на 0, т.е. резултатът тук е равен на –1. А това на какво е равно? Натурален логаритъм от 4 е равно на... Числото е е равно на 2,7 и т.н., така че това число ще се намира между 1 и 2. Следователно ще се намира между 1 и 2. Действително ще се намира между 1 и 2. Умножаваш това по 8 и резултатът е между 8 и 16. След това изваждаш 16, така че това означава, че ще се намира между 0 и –8. Добре. Това не е съвсем ясно. Поне не и без да се използва калкулатор. А този е много груб начин да се определи най-голямата стойност. Ето тези и двете стойности са отрицателни числа. А на какво ще бъде равно това? Натурален логаритъм от 2. Натурален логаритъм от 2 ще бъде равно на някакво дробно число. Ще бъде по-голямо от 1/2, ще бъде по-голямо от 1/2.... И след като е по-голямо от 1/2, то целият този член ще бъде по-голям от 4, което означава, че целият този израз ще бъде положителен. Това е отрицателно, това е отрицателно, а това е положително. И това са само критичните точки. Това са просто кандидати за максималната стойност на функцията. Следователно ще избера ето това. Максимумът на функцията ще бъде, в точката х равно на 2, а максималната стойност, е 8 по натурален логаритъм от 2 минус 4. Това е абсолютната максимална стойност. Абсолютна максимална стойност в рамките на дадения интервал. Предполагам, че може да кажем, в рамките на дефиниционното множество на дадената функция. Ако искаме да проверим това с калкулатор, то може да го направим. Вече решихме задачата, но нека да го проверим. f от 4 е равно на 8 по натурален логаритъм от 4 минус 16, което е равно на минус 5. Добре, това определено не е максималната стойност. Тази стойност определено не е максималната. Тогава f от 2 е равно на 8 по натурален логаритъм от 2, минус 4, което, както казахме, е наистина положително число. Имам много приятно усещане от решението, което намерихме.