Намиране на интервали на нарастване на функция въз основа на производната

Нека g да бъде функция, която е дефинирана за всички реални числа. Нека g', производната на функцията g, да е дефинирана като g' от х, и да е равна на х^2 върху (х –2)^3. В кой интервал функцията g нараства? Първо може би ще кажеш, че дори не са ни дали функция g. Как тогава ще намерим кога g нараства? Отговорът е, че всичко, от което се нуждаем, е g', което са ни дали. Да попитаме в кой интервал функцията g нараства, това е еквивалентно на това да попитаме в кой интервал първата производна спрямо х ще бъде по-голяма от 0? Ако скоростта на изменение спрямо х е по-голяма от 0, т.е. ако е положителна, то тогава самата функция ще бъде нарастваща. Има няколко начина, които мога да използвам в този случай. Може просто да искаш да изследваш структурата на израза на производната и да помислиш къде стойността ѝ ще бъде по-голяма от 0, или може да подходим по-методично. Може да решим да потърсим критичните точки, или критичните стойности за функцията g. Критични критични точки за g. Нека просто да си припомним какво са критичните точки. Те са там, където производната g' от х е равна на 0, или производната g' от х не е дефинирана. Не е дефинирана. Има отделен урок за критични точки или критични стойности, и те са важни, защото това са местата, където знакът на производната може да се промени, т.е. знакът на g' може да се промени. Кога производната g' от х е равна на 0? За да е равно g' от х на 0, то числителят трябва да е равен на 0 и това наистина ще бъде изпълнено, ако х^2 е равно на 0, т.е. ако х е равно на 0. Това е единственото място, където g' от х е равно на 0. А къде производната g' от х не е дефинирана? Производната няма да бъде дефинирана, ако знаменателят не е дефиниран. Знаменателят не е дефиниран, когато е равен на 0. Това ще бъде изпълнено, ако (х – 2) е равно на 0, (х – 2) = 0 или х е равно на 2. Имам две критични точки или критични стойности тук и това, което ще направя, е, че искам да ги онагледя. Нека да ги поставим на числова ос и нека да просто да помислим как изглежда g' в интервалите между критичните точки. Започваме от 0, 1, 2, 3, а сега нека да отидем на минус 1, и имаме критична точка – нека да я означа с пурпурно – имаме критична точка в точката х = 0 ето тук. Имаме критична точка и за х = 2 ето тук. Нека да помислим как изглежда производната g' в интервалите между критичните стойности, или от всяка страна на критичните стойности. Нека да помислим. Нека да помисли за този интервал. Нека да го направя в този лилав цвят. Нека да помислим за интервала между минус безкрайност и 0. Нека да помислим за този интервал, от минус безкрайност до 0. Това е отворен интервал. Ако наблюдаваме производната g', то числителят отново ще бъде положителен. Ако избереш коя да е отрицателна стойност и я повдигнеш на квадрат, то ще получиш положителна стойност. Така че числителят ще бъде положителен. А какво става в знаменателя? Избираш отрицателно число, изваждаш 2 от него, отново ще получиш отрицателно число, след което го повдигаш на трета степен. Отрицателно число на трета степен ще бъде равно на отрицателно число, така че знаменателят ще бъде отрицателен. Ще се получи положителен израз, разделен на отрицателен, така че производната g' ще бъде отрицателна. Нека да го запиша. В рамките на този интервал... Нека да го запиша по следния начин. g' от х е по-малко от 0, или ако ни интересуваше, или ако искахме да знаем кога функцията g намалява, то определено ще знаем, че намалява в рамките на този интервал. Нека сега да вземем интервала между 0 и 2 ето тук. Това е интервалът от 0 до 2. Отвореният интервал. Какво се случва с производната g' от х тук? Отново имаме х на квадрат. Това е стойност, която е по-голяма от 0, а 0 не се включва в интервала. Следователно със сигурност числителят ще бъде положителен. Нека да видим, ако имаме х – 2, където х е по-голямо от 0, но по-малко от 2. Ако кажем например, че х е равно на 1, то 1 минус 2 е равно на –1. Отново ще получим отрицателна стойност в знаменателя ето тук. След като отново ще получим отрицателни стойности в знаменателя, то в знаменателя отново повдигаме отрицателна стойност на трета степен. Следователно отново ще се получи отрицателна стойност, т.е. знаменателят ще бъде отрицателен. Отново производната g' ще бъде по-малка от 0, така че нека да го запиша. Следователно отново имаш g' от х е по-малко от 0. Нека след това да вземем следващия интервал. Нека да вземем интервала от 2 до плюс безкрайност. От 2 до плюс безкрайност. Е, числителят е положителен. Винаги ще бъде положителен за всяко х, което е различно от 0. А в знаменателя заместваме стойности, които са по-големи от 2, изваждаме 2 от тях, което отново ще ни даде положителна стойност. Повдигаш на трета степен и отново се получава положително число. Целият израз ще бъде положителен. Това е интервалът, където g' от х е по-голямо от 0. В кой интервал функцията g нараства? Това е там, където g' от х е по-голямо от 0, т.е. ще бъде от 2 до плюс безкрайност или просто може да го запишем по следния начин. Може да запишем, че х е по-голямо от 2. По който и да е начин, който и запис да се използва, то g' от х е по-голямо от 0 и функцията g ще бъде нарастваща.