Секущи прави и средна скорост на изменение на функцията

Ето тук имаме графика на y равно на x квадрат, или поне част от графиката на y равно на x квадрат. Първото нещо, с което ще се занимаем, е да помислим за средната скорост на изменение на y по отношение на x в интервала от x = 1 до x = 3. Нека да запиша това. Искаме да знаем средната скорост на изменение на y по отношение на x в интервала, където x преминава през стойностите от 1 до 3. И това е затворен интервал, където x може да е 1, и x може да е 3. Всъщност можем да направим това дори и без да гледаме графиката. Ако просто направим таблица тук, ако това е x, а това y, то y е равно на x квадрат, когато x е равно на 1, y е равно на 1 квадрат, което е просто 1. Може да видиш това там. А когато x е равно на 3, y е равно на 3 квадрат, което е равно на 9. Можеш да видиш, че когато x е равно на 3, y е равно на 9. За да определиш средната скорост на изменение на y по отношение на x, може да се запиташ: „Какво е изменението на x?“ Е, можем да видим съвсем ясно, че изменението на x в този интервал е равно на 2. Какво е тогава изменението на y в същия интервал? Изменението на y е равно на... Когато x е увеличено с 2 в интервала [1; 3], y се увеличава с 8, така че изменението на y е 8. Тогава, каква е средната скорост на изменение на кривата? Тя ще е равна на изменението на y, върху изменението на x, което е равно на 8 върху 2, което е равно на 4. Значи това ще бъде средната скорост на изменение. В интервала средно с увеличаване на x с 1 y се увеличава с 4. И как пресметнахме това? Просто видяхме изменението на x, нека го нарисувам тук... Видяхме изменението на x, и видяхме и изменението на y, което би било това ето тук, след което пресметнахме изменението на y върху изменението на x и получихме средната скорост на изменение. Това може да ти изглежда малко познато, защото обикновено се разглежда изменението на y върху изменението на x като наклона на права, свързваща две точки. И това наистина е нещото, което пресметнахме. Ако начертаеш секущата между тези две точки, всъщност ние пресметнахме наклона на секущата. И тогава средната скорост на изменение между две точки е същото като наклона на секущата. А гледайки и сравнявайки секущата с кривата в този интервал, се надявам да придобиеш визуална интуиция за това какво представлява средно изменение. Тъй като в началото на интервала може да забележиш, че секущата всъщност нараства по-бързо, но след това, приближавайки се до 3, изглежда, че жълтата крива расте по-бързо от секущата, и в един момент те съвпадат. И така, ето защо наклонът на правата е винаги средната скорост на изменение. А дали това е точната скорост на измемение във всяка точка? Абсолютно не. Скоростта на изменение на кривата се променя постоянно. Кривата е с по-бавна скорост на изменение в началото на този интервал, след което всъщност скоростта на изменение става по-висока с приближаване до 3. Значи в този интервал изменението на y върху изменението на x е едно и също. Един въпрос, който може да те кара да се чудиш, е защо се учи това в математическия анализ? Не може ли просто да се вземе като материал в час по алгебра? Отговорът е да, може. Но има нещо интересно, което се случва, и наистина това е една от фундаменталните идеи на математическия анализ, когато тези две точки се приближават една към друга все повече. Намерихме средната скорост на изменение на кривата в интервала [1; 3] или наклонът на секущата права с пресечни точки (1;1) и (3;9). Добре, а ако намерим наклона на секущата с пресечни точки (2;4) и (3;9)? Ако намерим този наклон? А какво, ако искаш да се приближиш още повече? Например, ако искаш да намериш наклона на секущата между точките (2,5; 6,25) и (3; 9)? А ако продължиш да се приближаваш още и още, и още? Е, тогава, наклоните на тези секущи ще започнат да се приближават до наклона на тангентата в точката, където x е равно на 3. A ако успеем да определим наклона на тангентата, вече сме в играта. Защото тогава говорим не само за средната скорост на изменение, а ще говорим за моментната скорост на изменение, което е една от централните идеи, това е производната, и ще стигнем там съвсем скоро. Но е наистина важно да оценим, че средната скорост на изменение между две точки е същото нещо като наклона на секущата. И докато тези точки се приближават все повече и повече, и секущите свързват две точки, които са все по-близо една до друга, и разстоянието между тези точки, между стойностите на x в тези точки клони към 0, много интересни неща ще започнат да се случват.