Втори производни (параметрични функции)

Дадени са двойка параметрични уравнения, където х и у са дефинирани като функции на t. Ако заместим всички възможни стойности за t, които можем, в тези функции, а след това изобразим съответните стойности х и у за всяко t, то ще се получи графиката на крива в равнината ху. Това, което искам да направя в настоящия урок, е да намеря първата производна на у спрямо х, а след това и втората производна на у спрямо х. И в двата случая ще бъдат изразени чрез параметъра t. Нека да се захващаме. Първо нека да намерим първата производна на у спрямо х. Първа производна на у спрямо х. Виждали сме това в предни уроци, където dy/dx ще бъде равно на производната на у спрямо t, върху производната на х спрямо t. И това ще бъде равно на следното. А на какво ще бъде равна производната на у спрямо t? dy/dt е равно на... Нека да видим. Получава се производната на е на степен 3 по t, спрямо t, което е равно на е на степен 3 по t. А след това имаме производната на 3 по t спрямо t, което ще бъде равно на 3. Тоест, мога да запиша по 3, ето така. Или мога да изнеса числото 3 отпред. Следва производната на –1. Една константа не се променя, независимо какво се случва с параметъра t. Следователно производната на –1 ще бъде равна на 0. Добре, това е dy/dt. Ще бъде равно на 3 по е на степен 3 по t, всичко това е върху производната на х спрямо t. Производната на х спрямо t е равна на следното. Имаме 3 отпред, а производната на е на степен 2 по t спрямо 2 по t, ще бъде равно на e на степен 2 по t. След това търсим производната на 2t спрямо t, което е равно на 2. Следователно dx/dt е равно на 6 по е на степен 2t. 6 по е на степен 2t. Нека да видим. Може малко да опростим получения израз. Ще избера неутрален цвят. Този израз ще бъде равен на 1 върху 2. Това е 3 върху 6, по е на степен 3t минус 2t. 3t минус 2t. Тук просто прилагам свойствата на степените. Но ако имам 3t и извадя 2t от него, ще се получи просто t. И така този член ще се опрости до t ето тук. Намерихме първата производна на у спрямо х, изразена чрез t. А как ще намерим втората производна? А как ще намерим втората производна на у спрямо х? Ще ти подскажа! Отново ще използваме същата идея. Ако искаш да намериш скоростта на изменение на нещо спрямо х, то търсиш скоростта на изменение на това нещо спрямо t и го разделяш на скоростта на изменение на х спрямо t. Тогава на какво ще бъде равна втората производна? Искаме да намерим производната на първата производна спрямо t. Нека да го запиша. Искаме да намерим производната спрямо t в числителя, от първата производна, която ще оградя със синьо. От dy/dx. Всичко това е върху dx/dt. Ако не се досещаш защо това е равно на същото нещо, което направихме при първата производна, те насърчавам да спреш видеото и да помислиш върху него. Помисли, какво направихме първия път, когато искахме да намерим производната на у спрямо х. Намерихме производната на у спрямо t, а след това я разделихме на производната на х спрямо t. Сега искаме да намерим втората производна на у спрямо х. Всъщност, нека да го запиша малко по-ясно ето тук. Това, което наистина искаме да направим, е да намерим производната спрямо... Нека да го запиша по следния начин. Когато искахме да намерим производната на у спрямо х, това беше равно на производната на у спрямо t върху производната на х спрямо t. Сега искаме да намерим производната спрямо х, от първата производна спрямо х. Навсякъде, където имаме у в този израз, го заместваме с първата производна. Следователно това ще бъде равно на следното. В числителя имаме производната спрямо t на dy/dx. Забележи, че това беше производната на у спрямо t. Всъщност, нека да го запиша по следния начин, за да можеш да го разбереш. Ако изтрия това, то ще запиша следното. Това тук е производната на у спрямо t. Надявам се, че виждаш, че преди имахме у тук, а сега има dy/dx. dx/dt Това може да изглежда сложно и объркано, като изключим факта, че тези неща са всъщност сравнително лесни за изчисление. Търсенето на производната спрямо t от първата производна е просто търсене на производната спрямо t от този израз. А това е сравнително лесно. Това е производната, която се получава точно 1/2. А производната на е на степен t спрямо t е равна просто на e на степен t. А този израз ще бъде върху производната на х спрямо t, което вече видяхме, че е 6 по е на степен 2t. 6 по е на степен 2t. Може да запишем резултата като 1/2 разделено на 6 върху 12... а след това имаме e на степен t –2 по t... което е равно на следното. Може да запишем това като 1/12 по е на степен –t. Или може да го запишем като 1/12 по е на степен t. И сме готови.