Втори производни (векторни функции)

Дадена е векторната функция h, и когато казвам векторна функция, означава, че за избрано t... h е функция на t... за избрано t, резултатът няма да бъде някакво число, а ще бъде вектор. И, както ще видим, ще се получи двумерен вектор. Може да разглеждаш този израз като х-компонента на вектора, а този израз като у-компонента на вектора. Може би досега знаеш, че има няколко означения за двумерен вектор. Например, може да използваш това, което често е определяно като инженерно означение, където х-компонентата е умножена по хоризонталния единичен вектор. Може да видиш нещо като това, където това i е единичният вектор плюс у-компонентата. 4 по t на четвърта степен, плюс t, плюс 1, е умножено по вертикалния единичен вектор j. Дадено и по двата начина значението е еднакво, просто записът е различен. Понякога ще забележиш векторни функции със стрелка отгоре, за да бъде ясно, че става дума за векторна функция. Понякога просто ще чуеш хората да казват, нека h е векторна функция. И може и да не запишат тази стрелка отгоре. След като изяснихме означенията, това, което ни интересува, е да намерим първата и втора производни на h спрямо t. Нека първо да намерим първата производна. h' от t, както ще видиш, се получава много лесно. Просто следва да вземеш съответните членове, и да намериш производната на съответните членове спрямо t. х-компонентата спрямо t. Ако трябваше да намериш производната спрямо t, то какво щеше да получиш? Ето тук ще приложим правилото за намиране производна на степен. 5 по минус 1, или по знак минус. Ще се получи –5 по t на степен (5 – 1), т.е. t на четвърта степен. Производната спрямо t на –6, е просто равна на 0. Това е скоростта на изменение на х-компонентата. спрямо t. А сега стигаме до у-компонентата. Тук ще направим същото нещо. Производната спрямо t, ще бъде равна на следното: още веднъж просто прилагаме правилото за намиране производна на степен. 4 по 4 е равно на 16 по t на трета степен. Производна от 2t е равна на 2, а производната на константа е равна на 0, както вече видяхме. Ето, че я намерихме! Този израз е скоростта на изменение на х-компонентата спрямо t. А този израз е скоростта на изменение на у-компонентата спрямо t. Това е възможен начина да го направиш. Векторите могат да означават много, много неща. С двумерен вектор като този обаче можеш да си представиш, че h от t е радиус-вектор. Ако разглеждаш скоростта като изменение на позицията спрямо времето, то това ще бъде векторът на изменението. Ако искахме да намерим производната на този израз спрямо времето, щяхме да получим вектора на ускорението. Ако искаме да намерим h'' от t, то на какво ще бъде равно? Просто отново ще приложим правилото за намиране производна на степен. 4 по –5 е равно на –20 по t на степен (4 – 1), т.е. t на трета степен. След това се получава 3 по 16, което е равно на 48 по t на квадрат, а след това производната на 2, която е равна на 0. Ето, че я намерихме! За всеки момент от време t, ако го разглеждаш така, първоначалната функция описва позицията, и тогава този израз е скоростта, а този ускорението. От тези изрази ще намериш позицията, скоростта и ускорението. Важно е да разбереш, че тези вектори могат да представляват всичко, което има две измерения.