Основно съдържание

Курс: 12. клас (България) Профилирана подготовка Модул 4 Вероятности и анализ на данни > Раздел 2

Урок 3: Дисперсия и стандартно отклонение на случайна величина

Комбиниране на случайни променливи

Влияние върху средно аритметичната стойност, стандартното отклонение и дисперсията

Можем да образуваме нови разпределения, като комбинираме случайни променливи. Ако знаем средната стойност и стандартното отклонение на оригиналните разпределения, можем да използваме тази информация, за да намерим средната стойност и стандартното отклонение на полученото разпределение.

Можем да комбинираме средните стойности директно, но не можем да направим това със стандартните отклонения. Можем да комбинираме дисперсиите, стига да е логично да приемем, че променливите са независими.

	Средна стойност	Дисперсия
Събиране: $T = X + Y$ ‍	$μ_{T} = μ_{X} + μ_{Y}$ ‍	$σ_{T}^{2} = σ_{X}^{2} + σ_{Y}^{2}$ ‍
Изваждане: $D = X - Y$ ‍	$μ_{D} = μ_{X} - μ_{Y}$ ‍	$σ_{D}^{2} = σ_{X}^{2} + σ_{Y}^{2}$ ‍

Това са няколко важни факта за комбинирането на дисперсии:

Увери се, че променливите са независими или че е логично да приемем независимост, преди да комбинираш дисперсии.
Дори когато изваждаме две случайни променливи, все още събираме дисперсиите им; изваждането на две променливи увеличава цялостната променливост на резултатите.
Можем да намерим стандартното отклонение на комбинираните разпределения, като намерим квадратен корен от комбинираните дисперсии.

Пример 1: Установяване на независимост

За да комбинираме дисперсиите на две случайни променливи, трябва да знаем, или да сме готови да приемем, че двете променливи са независими.

ВЪПРОС А (Пример 1)

За кои двойки променливи ще е логично да приемем независимост?

(Избор А)
$T$ ‍: Възрастта на случайно избран учител в училище
$S$ ‍: Възрастта на случайно избран ученик в училище
(Избор Б)
$S$ ‍: Колко часа е спал вчера един случайно избран човек
$A$ ‍: Колко часа е бил буден същият човек
(Избор В)
$I$ ‍: Годишният доход на един случайно избран човек
$C$ ‍: Колко пари е похарчил за дрехи миналата година

Пример 2: SAT резултати

Приблизително 1,7 милиона души положили SAT през 2015. Всеки ученик получил резултат по четене с разбиране и по математика.

Това са обобщителни статистически характеристики за всеки раздел на теста през 2015:

Раздел	Средна стойност	Стандартно отклонение
Четене с разбиране	$μ_{C R} = 495$ ‍	$σ_{C R} = 116$ ‍
Математика	$μ_{M} = 511$ ‍	$σ_{M} = 120$ ‍
Общо	$μ_{T} = ?$ ‍	$σ_{T} = ?$ ‍

Предположи, че изберем един ученик от тази генерална съвкупност на случаен принцип.

Въпрос А (Пример 2)

Каква е средната стойност на сбора от резултатите на един ученик от четенето с разбиране и математиката?

Въпрос В (Пример 2)

Какво е стандартното отклонение на сбора от резултатите на един ученик от четенето с разбиране и математиката?

(Избор А)
$σ_{T} = 116 + 120$ ‍
(Избор Б)
$σ_{T} = 116^{2} + 120^{2}$ ‍
(Избор В)
$σ_{T} = \sqrt{116^{2} + 120^{2}}$ ‍
(Избор Г)
Не може да бъде определено от дадената информация, тъй като резултатите не са независими.

Пример 3: Проверка на стоки

Всяка от определена стока в една фабрика бива проверена от

4

служителя. Времето, което е нужно на всеки служител, за да провери стоката, има средна стойност от

30

секунди и стандартно отклонение от

6

секунди. Още повече, времето, което е нужно на определен служител да провери стоката, не е повлияно от времето, което е нужно на друг служител, за да провери тази стока.

Нека

Т

е общото време, което е нужно на

4

служители да проверят случайно избрана стока.

Въпрос А (Пример 3)

Каква е средната стойност на общото време, което е нужно на $4$ ‍ служителя да проверят една случайно избрана стока?

Въпрос В (Пример 3)

Какво е стандартното отклонение на общото време, което е нужно на $4$ ‍ служители да проверят една случайно избрана стока?

(Избор А)
$σ_{T} = 6$ ‍ секунди
(Избор Б)
$σ_{T} = 12$ ‍ секунди
(Избор В)
$σ_{T} = 24$ ‍ секунди
(Избор Г)
$σ_{T} = 144$ ‍ секунди
(Избор Д)
Не може да бъде определено от дадената информация, тъй като времената не са независими.

Пример 4: Разлика във височини

Един социолог взел голяма извадка от военни и разгледал височините на мъжете и жените в извадката. Обобщителните статистически характеристики за височините на хората в проучването са дадени по-долу.

Предположи, че изберем един случаен мъж и една случайна жена от проучването и разгледаме разликата между височините. Нека

М

представлява височината на мъжа,

W

да представлява височината на жената, а

D

да представлява разликата между височините им

(D = M - W)

	Средна стойност	Стандартно отклонение
Мъж	$μ_{M} = 178 см$ ‍	$σ_{M} = 7 см$ ‍
Жена	$μ_{W} = 164 см$ ‍	$σ_{W} = 6 см$ ‍
Разлика	$μ_{D} = ?$ ‍	$σ_{D} = ?$ ‍

Въпрос А (Пример 4)

Каква е средната стойност на разликата между двете височини?

Въпрос В (Пример 4)

Какво е стандартното отклонение на разликата между двете височини?

(Избор А)
$σ_{D} = 7 - 6$ ‍ сантиметра
(Избор Б)
$σ_{D} = 7 + 6$ ‍ сантиметра
(Избор В)
$σ_{D} = \sqrt{7^{2} - 6^{2}}$ ‍ сантиметра
(Избор Г)
$σ_{D} = \sqrt{7^{2} + 6^{2}}$ ‍ сантиметра
(Избор Д)
Не може да бъде определено от дадената информация, тъй като резултатите не са независими.

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Вписване в профила

Сортирай по:

Все още няма публикации.

Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.