Теорема на Бейс

Казвам се Иън Оласов и съм студент в градския университет на Ню Йорк. Днес искам да говоря за теоремата на Бейс. Теоремата на Бейс се използва в теорията на вероятностите и за пръв път е открита през 18 век от Томас Бейс. Теоремата е най-известният принос на Бейс към математическата теория на вероятностите. Има много приложения. И някои философи дори мислят, че тя е ключът към разбирането на рационалното мислене. За да разберем теоремата на Бейс, трябва да разберем малко за вероятностите. Вероятност на едно твърдение е шансът, или вероятността, това твърдение да е вярно. Предположи, че знаеш, че един ученик в клас от 20 ученици има грип, но не знаеш кой. Ако знаеш, че Сали е ученичка от този клас, ще кажеш, че вероятността Сали да е болна от грип е 1 от 20, или 5%. Което е същото като 0,05. Можем да наречем това априорна вероятност, че Сали има грип, понеже толкова е вероятността преди да намерим нова информация. Съкратено можем да запишем това така: Р(Сали има грип) = 0,05. Сега предположи, че има 5 момичета и 15 момчета в този клас. Не знаеш дали болният от грип в класа е момиче, или момче. Но ако откриеш, че е момиче, вероятността Сали да е болна от грип ще се увеличи до 1/5, което е 20%, или 0,2. От друга страна, ако откриеш, че болният е момче, вероятността Сали да е болна от грип ще намалее до 0. Но понеже тези неща са все още несигурни, помни, не знаеш все още дали пациентът с грип е момче, или момиче, наричаме тези неща условна вероятност. Вероятността Сали да има грип, при условие, че пациентът е момиче, е 0,2. Вероятността Сали да има грип, ако пациентът е момче, е 0. Съкратено можем да запишем това така: Р(Сали да има грип | пациентът е момиче) е равна на 0,2. И Р(Сали има грип | пациентът е момче) е равна на 0. Малката вертикална чертичка ти казва, че говорим за условни вероятности. Само че понякога не знаеш каква трябва да е условната вероятност. С други думи, знаеш, че може да се натъкнеш на ново доказателство в бъдещето, но още не знаеш как това доказателство трябва да повлияе вероятността, която даваш на някаква хипотеза. Тук идва теоремата на Бейс. Тя ти дава начин да разбереш каква трябва да е условната ти вероятност. Какво ни казва теоремата на Бейс? Помни съкращенията ни. Вероятността за някаква хипотеза, ще означим хипотезата с Н, при условие, че е базирана върху някакво ново доказателство, да го наречем Е, се записва като Р(Н | Е). Ето какво ни казва теоремата на Бейс. Р(Н | Е) е равно на Р(Е | Н) по Р(Н), делено на Р(Е). С други думи, това ни казва трите съставки, които влизат във вероятността за една хипотеза, основана на някакво условие. Вероятността за доказателството, базирана въз условие на хипотезата. Априорната вероятност за хипотезата. И априорната вероятност за доказателството. Нека разгледаме един пример. Представи си, че една сутрин не се чувстваш добре. И започваш да разглеждаш в Интернет сайт, за да разбереш какво става. Търсиш в сайта, докато намериш болест, която хваща окото ти – "Хипотезит". Хипотезата, която обмисляш, е, че имаш хипотезит. Докато четеш списъка със симптоми, осъзнаваш, че ги имаш всичките. С други думи, имаш всички симптоми на човек, страдащ от хипотезит. Да кажем, че Р(Е | Н), или Р(симптоми | хипотезит), е равно на 0,95. Започваш да откачаш. Но после си спомняш теоремата на Бейс. Тя ти казва, че има още две неща, които трябва да знаеш, за да откриеш колко е вероятно да имаш хипотезит. Априорната вероятност да се разболееш от хипотезит и априорната вероятност да имаш симптомите, които имаш. С още малко сърфиране откриваш, че заболяването е изключително рядко. Само един от 100 000 души го има. Тоест Р(хипотезит) е 0,00001. И накрая, последната съставка. Какви симптоми имаш? Да предположим, че са много често срещани, като главоболие и хрема. Много хора ги имат. Гугъл ти казва 1 от всеки 100. Тоест Р(симптоми), или априорната вероятност да имаш симптомите, които имаш, е 0,01. И вече знаеш всичко, което трябва да знаеш, за да откриеш вероятността да имаш хипотезит, въз основа на симптомите си. Теоремата на Бейс ти казва, че Р(хипотезит | симптоми) е равна на Р(симптоми | хипотезит) по Р(хипотезит), делено на Р(симптоми). С други думи, Р(хипотезит | симптоми) е равно на 0,00095. Или малко по-малко от 1 от 1000. Теоремата на Бейс е много полезна, понеже докато се чудим какво да направим с новопоявили се доказателства, често пренебрегваме априорната вероятност за хипотезата. Или възприемаме Р(Н | Е) като Р(Е | Н). Тази грешка понякога е позната като пренебрегване на статистическата информация. В случая, който току-що разгледахме, Р(Н | Е) е много различна от Р(Е | Н). Едното е по-малко от 1/10 от 1%, а другото е 95%. Без теоремата на Бейс можеше да се тревожиш много повече за хипотезита, отколкото трябва. Да обобщим: теоремата на Бейс е формулата, която ти казва как да изчислиш условни вероятности. Или вероятността, която трябва да дадеш на някаква хипотеза, при дадените доказателства. Но дори ако забравиш формулата, опитай да си спомниш, че условната вероятност на Н | Е се определя от три неща – условната вероятност от Е | Н, априорната вероятност за Н и априорната вероятност за Е. Ако изпуснеш едно от тези три неща, няма да имаш пълната картинка.