Въведение в съдружителното свойство на умножението

На картинката са изобразени $3$‍ реда по $2$‍ точки на всеки ред. Можем да използваме израза $3\cdot 2$‍, за да представим тази подредена група.

На тази картинка същата подредена група $3\cdot 2$‍ е копирана $4$‍ пъти.

Използваме израза $(3\cdot 2)\cdot 4$‍, за да представим новата подредена група.

Като пресметнем или преброим, получаваме, че общият брой на точките е $24$‍.

Дали ще се получи същият общ брой, ако променим скобите и групираме числата по друг начин?

Нека да прегрупираме числата така, че $2$‍ и $4$‍ да са заедно: $3\cdot (2\cdot 4)$‍.

Можем да нарисуваме друга подредена група, за да представим този израз. Да започнем с група от $2$‍ реда по $4$‍ точки на всеки ред. Тя представя $2\cdot 4$‍.

Сега трябва да копираме групата $3$‍ пъти, за да представим израза $3\cdot (2\cdot 4)$‍.

Като пресметнем или преброим, отново получаваме, че общият брой на точките е $24$‍.

Прегрупирането не променя отговора!

Математическото правило, което ни позволява да сдружаваме (прегрупираме) числата в задача с умножение, без това да променя отговора, се нарича съдружително свойство на умножението.

Нека да групираме числата в следващата задача с умножение по два различни начина и да покажем, че и по двата начина се получава едно и също произведение.

Да започнем, като групираме заедно $5$‍ и $4$‍. Можем да пресметнем израза стъпка по стъпка.

Сега нека да групираме заедно $4$‍ и $2$‍.

Получихме едно и също произведение, въпреки че числата бяха групирани по два различни начина.

И трите израза са равни:
$\phantom{=}5\cdot 4\cdot 2$‍
$=(5\cdot 4)\cdot 2$‍
$=5\cdot (4\cdot 2)$‍

Сега нека да пресметнем изразите по два различни начина.

Сега пресметни същия израз с групирани по различен начин числа.

$(3\cdot 2)\cdot 5=30$‍ и
$3\cdot (2\cdot 5)=30$‍

Получихме едно и също произведение, въпреки че групирахме числата по два различни начина.

Можем да използваме съдружителното свойство, за да откриваме равни изрази.

Нека да започнем с израза $2\cdot 2\cdot 5$‍.

Можем да групираме числата в този израз по два начина, като получените изрази са равни на $2\cdot 2\cdot 5$‍:

Като пресметнем всеки израз стъпка по стъпка, можем да намерим още изрази, които също са равни.

Следователно нашият първоначален израз, $2\cdot 2\cdot 5$‍, е равен също и на $4\cdot 5$‍ и на $2\cdot 10$‍.

Някои задачи с умножение се пресмятат по-лесно, когато прегрупираме.

Нека да разгледаме израза $4\cdot 4\cdot 5$‍.

Можем да групираме числата в израза по два начина:

Когато пресметнем първия израз стъпка по стъпка получаваме: $(4\cdot 4)\cdot 5=16\cdot 5$‍

Когато пресметнем втория израз стъпка по стъпка получаваме: $4\cdot (4\cdot 5)=4\cdot 20$‍

Може би е по-лесно да се пресметне произведението $4\cdot 20$‍, отколкото $16\cdot 5$‍.

Въпреки че числата бяха групирани по различен начин, произведението и в двата израза е едно и също.