Въведение в съдружителното свойство на умножението

На картинката са изобразени $\tealD{3}$start color #01a995, 3, end color #01a995 реда по $\goldD{2}$start color #e07d10, 2, end color #e07d10 точки на всеки ред. Можем да използваме израза $\tealD{3} \cdot \goldD{2}$start color #01a995, 3, end color #01a995, dot, start color #e07d10, 2, end color #e07d10, за да представим тази подредена група.

На тази картинка същата подредена група $\tealD{3} \cdot \goldD{2}$start color #01a995, 3, end color #01a995, dot, start color #e07d10, 2, end color #e07d10 е копирана $\purpleD{4}$start color #7854ab, 4, end color #7854ab пъти.

Използваме израза $(\tealD{3} \cdot \goldD{2}) \cdot \purpleD{4}$left parenthesis, start color #01a995, 3, end color #01a995, dot, start color #e07d10, 2, end color #e07d10, right parenthesis, dot, start color #7854ab, 4, end color #7854ab, за да представим новата подредена група.

Като пресметнем или преброим, получаваме, че общият брой на точките е $24$24.

Дали ще се получи същият общ брой, ако променим скобите и групираме числата по друг начин?

Нека да прегрупираме числата така, че $\goldD{2}$start color #e07d10, 2, end color #e07d10 и $\purpleD{4}$start color #7854ab, 4, end color #7854ab да са заедно: $\tealD{3} \cdot (\goldD{2}\cdot \purpleD{4})$start color #01a995, 3, end color #01a995, dot, left parenthesis, start color #e07d10, 2, end color #e07d10, dot, start color #7854ab, 4, end color #7854ab, right parenthesis.

Можем да нарисуваме друга подредена група, за да представим този израз. Да започнем с група от $\goldD{2}$start color #e07d10, 2, end color #e07d10 реда по $\purpleD{4}$start color #7854ab, 4, end color #7854ab точки на всеки ред. Тя представя $\goldD{2} \cdot\purpleD{4}$start color #e07d10, 2, end color #e07d10, dot, start color #7854ab, 4, end color #7854ab.

Сега трябва да копираме групата $\tealD{3}$start color #01a995, 3, end color #01a995 пъти, за да представим израза $\tealD{3} \cdot (\goldD{2} \cdot \purpleD{4})$start color #01a995, 3, end color #01a995, dot, left parenthesis, start color #e07d10, 2, end color #e07d10, dot, start color #7854ab, 4, end color #7854ab, right parenthesis.

Като пресметнем или преброим, отново получаваме, че общият брой на точките е $24$24.

Прегрупирането не променя отговора!

Математическото правило, което ни позволява да сдружаваме (прегрупираме) числата в задача с умножение, без това да променя отговора, се нарича съдружително свойство на умножението.

Нека да групираме числата в следващата задача с умножение по два различни начина и да покажем, че и по двата начина се получава едно и също произведение.

Да започнем, като групираме заедно $\blueD{5}$start color #11accd, 5, end color #11accd и $\blueD{4}$start color #11accd, 4, end color #11accd. Можем да пресметнем израза стъпка по стъпка.

Сега нека да групираме заедно $\purpleD{4}$start color #7854ab, 4, end color #7854ab и $\purpleD{2}$start color #7854ab, 2, end color #7854ab.

Получихме едно и също произведение, въпреки че числата бяха групирани по два различни начина.

И трите израза са равни:
$\phantom{=}5 \cdot 4 \cdot 2$empty space, 5, dot, 4, dot, 2
$=(\blueD{5 \cdot 4}) \cdot 2$equals, left parenthesis, start color #11accd, 5, dot, 4, end color #11accd, right parenthesis, dot, 2
$=5 \cdot (\purpleD{4 \cdot 2})$equals, 5, dot, left parenthesis, start color #7854ab, 4, dot, 2, end color #7854ab, right parenthesis

Сега нека да пресметнем изразите по два различни начина.

Сега пресметни същия израз с групирани по различен начин числа.

$(\purpleD{3 \cdot 2}) \cdot 5 = 30$left parenthesis, start color #7854ab, 3, dot, 2, end color #7854ab, right parenthesis, dot, 5, equals, 30 и
$3 \cdot (\greenD{2 \cdot 5}) = 30$3, dot, left parenthesis, start color #1fab54, 2, dot, 5, end color #1fab54, right parenthesis, equals, 30

Получихме едно и също произведение, въпреки че групирахме числата по два различни начина.

Можем да използваме съдружителното свойство, за да откриваме равни изрази.

Нека да започнем с израза $2 \cdot 2 \cdot 5$2, dot, 2, dot, 5.

Можем да групираме числата в този израз по два начина, като получените изрази са равни на $2 \cdot 2 \cdot 5$2, dot, 2, dot, 5:

Като пресметнем всеки израз стъпка по стъпка, можем да намерим още изрази, които също са равни.

Следователно нашият първоначален израз, $2 \cdot 2 \cdot 5$2, dot, 2, dot, 5, е равен също и на $4 \cdot 5$4, dot, 5 и на $2 \cdot 10$2, dot, 10.

Някои задачи с умножение се пресмятат по-лесно, когато прегрупираме.

Нека да разгледаме израза $4 \cdot 4 \cdot 5$4, dot, 4, dot, 5.

Можем да групираме числата в израза по два начина:

Когато пресметнем първия израз стъпка по стъпка получаваме: $(\blueD{4\cdot 4}) \cdot 5 = \blueD{16} \cdot 5$left parenthesis, start color #11accd, 4, dot, 4, end color #11accd, right parenthesis, dot, 5, equals, start color #11accd, 16, end color #11accd, dot, 5

Когато пресметнем втория израз стъпка по стъпка получаваме: $4 \cdot (\purpleD{4 \cdot 5}) = 4 \cdot \purpleD{20}$4, dot, left parenthesis, start color #7854ab, 4, dot, 5, end color #7854ab, right parenthesis, equals, 4, dot, start color #7854ab, 20, end color #7854ab

Може би е по-лесно да се пресметне произведението $4 \cdot 20$4, dot, 20, отколкото $16 \cdot 5$16, dot, 5.

Въпреки че числата бяха групирани по различен начин, произведението и в двата израза е едно и също.