Намиране на делителите на число

Намери всички делители на 120. Или друг начин да мислиш за това е да намериш всички цели числа, на които 120 се дели. Първото може би е очевидно – всички цели числа се делят на 1. Можем да напишем, че 120 е равно на 1 по 120. Да направим списъка с делители тук. Делители. Това ще бъде списъкът ни с делители тук. Вече намерихме 2 делителя. Казахме си: дели ли се на 1? Ами, всяко цяло число се дели на 1. Това е цяло число, значи 1 ще бъде делител. 1 е делител. Това всъщност е най-малкият делител, а най-големият е 120. Не можеш да имаш нещо по-голямо от 120, което да се дели на 120 без остатък. 121 не влиза в 120. Значи най-големият делител в списъка ни ще бъде 120. Нека помислим за другите. Да помислим дали 2 е делител на 120? Тоест дали 120 е равно на 2 по нещо. Ако погледнеш насам, може би веднага ще се сетиш, че 120 е четно число. На мястото на единиците има 0. Ако на мястото на единиците има 0, 2, 4, 6, 8, или четно число, значи цялото число е четно и цялото число се дели на 2. И за да разберем с какво трябва да умножим 2, за да получим 120, може да помислим, че 120 е равно на 12 по 10 или това е също равно на 2 по 6 по 10, или на 2 по 60. Можем да го разделим, ако искаме. Нека видим 120, делено на 2. 1 не се дели на 2. 12, делено на 2, е 6. 6 по 2 е 12. Изваждаме. Получаваме 0. Сваляме нулата. 0, делено на 2, е 0. 0 по 2 е 0 и няма остатък. Получаваме 60. Тук имаме още 2 делителя. Имаме делителите... Установихме, че следващият най-малък делител е 2, а следващият най-голям, или ако започнем от горния край, ще бъде 60. Да видим за 3. 120 равно ли е на 3 по нещо? Можем още от началото да се опитаме да го разделим, но да се надяваме, че вече знаем правилото за делимост. За да разберем дали нещо се дели на 3, събираме цифрите му и ако сборът се дели на 3, значи става. Ако вземем 120 – нека го направя тук. 1 + 2 + 0, това е 1 + 2 = 3; 3 + 0 = 3, а 3 определено се дели на 3. Значи и 120 ще се дели на 3. За да разберем кое е числото, което трябва да умножим по 3... Можеш да го сметнеш и наум. Можем да кажем, че 3 се съдържа 4 пъти в 12, и после – нека да го направя, за тези, които искат да видят как се получава. 3 се съдържа 4 пъти в 12. 4 по 3 е 12. Изваждаме. И тук не остава нищо. Сваляме нулата. 0, делено на 3, е 0. 0 по 3 е 0 Нищо не остава тук. Значи се съдържа 40 пъти. 40 пъти. Начинът да си го представиш наум е, че това е същото като 12 по 10. 12, делено на 3, е равно на 4, но това ще бъде 4 по 10, защото имаме това 10 останало. Както ти е удобно. Или може да игнорираш нулата, да разделиш на 3, получаваш 4 и после слагаш 0 отзад. Както ти е по-удобно. Значи имаме още 2 делителя. В долния край имаме 3, а в горния 40. Да видим дали 4 е делител на 120. Правилото за делимост на 4 е да игнорираме всичко след мястото на десетиците и да гледаме само последните две цифри. Ако искаме да знаем дали нещо се дели на 4, гледаме само последните две цифри. Последните две цифри са 20. 20 определено се дели на 4, значи и 120 ще се дели на 4. 4 ще бъде делител. И за да разберем какво трябва да умножим по 4, за да получим 120... Можем да го направим и наум. Можем да кажем: 12, делено на 4, е 3, следователно 120, делено на 4, е 30. Получаваме още 2 делителя: 4 и 30. Или можем да го направим с дълго деление, ако искаме да се уверим, че се получава. Нека продължим. След това имаме 120 е равно на... 5 делител ли е? 5 по нещо равно ли е на 120? Това не става лесно... Нека първо да видим дали се дели. 120 завършва на 0. Ако число завършва на 0 или 5, значи се дели на 5. Значи 5 определено е делител. Да видим колко пъти 5 се съдържа в 120. 5 не се съдържа в 1. Съдържа се в 12, получаваме 2. 2 по 5 е 10. Изваждаме. Получаваме 2. Сваляме 0. 20, делено на 5, е 4. 4 по 5 е 20. Изваждаме и нямаме остатък, както и очакваме, защото трябва да се дели точно. Това число завършва на 0 или 5. Нека да изтрия това, за да имаме място за писане по-нататък. Значи 5 по 24 е 120. И вече имаме още 2 делителя – 5 и 24. Нека разчистя малко, защото си мисля, че ще имаме доста делители. Нека преместя това ето тук. Нека го изрежа и сложа, и да го преместя тук, за да имаме повече място за делителите. Значи имаме 5 и 24. Нека преминем на 6. 120 е равно на 6 по какво? За да бъде число делимо на 6, трябва да се дели на 2 и на 3. Вече знаем, че се дели на 2 и на 3, значи определено ще се дели и на 6, и да се надяваме, че ще можеш да го направиш наум. 5 беше малко по-трудно за смятане наум. Но лесно можеш да кажеш, че 12, делено на 6, е 2, после слагаш 0, и значи 120, делено на 6, е 20. Можеш да го направиш и с дълго деление, ако искаш. Значи 6 и 20 са още 2 делителя. 6 по 20. Сега нека помислим за 7. Да помислим за 7. 7 е много особено число и само за да го пробваме, може и да измислиш други начини за смятане. Нека се опитаме да разделим 120 на 7. 7 не се съдържа в 1. Съдържа се в 12 веднъж. 1 по 7 е 7. Изваждаме. 12 - 7 = 5 Сваляме 0. 7 по 7 е 49, значи се съдържа 7 пъти в 50. 7 по 7 е 49 Изваждаме. И имаме остатък, не се дели точно. Значи 7 не става. 7 не става. Сега да разгледаме 8. Да видим дали 8 става. Да си помислим за 8. Ще направя същата процедура. Да видим дали 120 се дели на 8. Да го сметнем. Ще подскажа малко... Всъщност просто ще го сметна. 1 не се съдържа в 8, 12, делено на 8, е 1. 1 по 8 е 8. Изваждаме. 12 - 8 = 4 Сваляме нулата. 40, делено на 8, е 5. 5 по 8 е 40, нямаме остатък, значи се дели точно. Значи 120... нека махна това. 120 е 8 по 15. Нека ги прибавим към списъка с делители. Вече имаме и 8 и 15. А дели ли се на 9? 120 дели ли се на 9? За да проверим, трябва да съберем цифрите. 1 + 2 + 0 = 3 Това удовлетворява правилото за деление на 3, но 3 не се дели на 9, значи и числото ни няма да се дели на 9. С 9 няма да стане. 9 не става. Нека минем на 10. Това е доста ясно. Ако завършва на 0, значи се дели на 10. Нека го запиша. 120 е равно на 10 по – и това е много ясно 120 е 10 по 12. Това е точно 120. То е 10 по 12, нека запишем и тези делители. 10 и 12. Накрая ни остава едно число. Остава ни 11. Не ни трябва да отиваме отвъд 11, защото вече минахме 12 и знаем, че няма делители след него, защото се движихме във възходящ ред, затова сме запълнили всички места. Може да пробваме 11. Може да опитаме ръчно, ако искаш. 120, делено на 11 – трябва да знаеш от таблиците за умножение с 11, че това няма да се получи, но ще ти го покажа. 12, делено на 11, е 1. 1 по 11 е 11. Изваждаме. 1, сваляме нулата. 10, делено на 11, е 0. 0 по 11 е 0. И получаваме остатък 10. 120, делено на 11, е 10, но имаме остатък 10. Не се дели точно. Тук са всичките ни делители: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 24, 30, 40, 60 и 120. И сме готови!