If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ако си зад уеб филтър, моля, увери се, че домейните *. kastatic.org и *. kasandbox.org са разрешени.

Основно съдържание

7. клас (България)

Курс: 7. клас (България) > Раздел 3

Урок 2: Разлагане чрез формулите за съкратено умножение
Математика
7. клас (България)
Разлагане на многочлени на множители
Разлагане чрез формулите за съкратено умножение
© 2023 Khan AcademyУсловия за ползванеДекларация за поверителностПолитика за Бисквитки

Разлагане на квадратни тричлени: разлика на квадрати

Класна стая на Google
Научи как да разлагаш квадратни изрази от вида "разлика на квадратите". Например запиши x²-16 като (x+4)(x-4).
Разлагането на един многочлен представлява неговото представяне като произведение от два или повече многочлена. Това е обратното на умножаването на многочлени.
В този урок ще научим как да използваме формулата за разлика на квадрати, за да разлагаме определени многочлени. Ако не познаваш формулата за разлика на квадрати, моля виж нашето видео преди да продължиш.

Въведение: Формула за разлика на квадрати

Всеки многочлен, който е разлика на квадрати, може да бъде разложен чрез прилагането на следната формула:
start color #11accd, a, end color #11accd, squared, minus, start color #1fab54, b, end color #1fab54, squared, equals, left parenthesis, start color #11accd, a, end color #11accd, plus, start color #1fab54, b, end color #1fab54, right parenthesis, left parenthesis, start color #11accd, a, end color #11accd, minus, start color #1fab54, b, end color #1fab54, right parenthesis
Обърни внимание, че a и b в тази формула могат да бъдат произволни алгебрични изрази. Например за a, equals, x и b, equals, 2 получаваме следното:
x2−22=(x+2)(x−2)\begin{aligned}\blueD{x}^2-\greenD{2}^2=(\blueD x+\greenD 2)(\blueD x-\greenD 2)\end{aligned}
Многочленът x, squared, minus, 4 сега е изразен в разложен вид, left parenthesis, x, plus, 2, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 2, right parenthesis. Можем да развием дясната страна на това равенство, за да обосновем разлагането:
(x+2)(x−2)=x(x−2)+2(x−2)=x2−2x+2x−4=x2−4\begin{aligned}(x+2)(x-2)&=x(x-2)+2(x-2)\\\\&=x^2-2x+2x-4\\ \\ &=x^2-4\end{aligned}
След като вече разбираме формулата, нека да я използваме, за да разложим още няколко многочлена.

Пример 1: Разлагане на x, squared, minus, 16

И x, squared, и 16 са точни квадрати, тъй като x, squared, equals, left parenthesis, start color #11accd, x, end color #11accd, right parenthesis, squared и 16, equals, left parenthesis, start color #1fab54, 4, end color #1fab54, right parenthesis, squared. С други думи:
x, squared, minus, 16, equals, left parenthesis, start color #11accd, x, end color #11accd, right parenthesis, squared, minus, left parenthesis, start color #1fab54, 4, end color #1fab54, right parenthesis, squared
Тъй като от единия квадрат изваждаме другия, можем да видим, че този многочлен представлява разлика на квадрати. Можем да използваме формулата за разлика на квадрати, за да разложим този израз:
start color #11accd, a, end color #11accd, squared, minus, start color #1fab54, b, end color #1fab54, squared, equals, left parenthesis, start color #11accd, a, end color #11accd, plus, start color #1fab54, b, end color #1fab54, right parenthesis, left parenthesis, start color #11accd, a, end color #11accd, minus, start color #1fab54, b, end color #1fab54, right parenthesis
В нашия случай start color #11accd, a, end color #11accd, equals, start color #11accd, x, end color #11accd и start color #1fab54, b, end color #1fab54, equals, start color #1fab54, 4, end color #1fab54. Следователно множителите в нашия многочлен са както следва:
left parenthesis, start color #11accd, x, end color #11accd, right parenthesis, squared, minus, left parenthesis, start color #1fab54, 4, end color #1fab54, right parenthesis, squared, equals, left parenthesis, start color #11accd, x, end color #11accd, plus, start color #1fab54, 4, end color #1fab54, right parenthesis, left parenthesis, start color #11accd, x, end color #11accd, minus, start color #1fab54, 4, end color #1fab54, right parenthesis
Можем да проверим нашата работа, за да сме сигурни, че произведението на двата множителя е x, squared, minus, 16.

Провери знанията си

1) Разложи x, squared, minus, 25.
Избери един отговор:

2) Разложи x, squared, minus, 100.

Въпрос за размисъл

3) Можем ли да използваме формулата за "разлика на квадрати", за да разложим x, squared, plus, 25?
Избери един отговор:

Пример 2: Разлагане на 4, x, squared, minus, 9

Водещият коефициент не трябва задължително да е равен на 1, за да използваме формулата за "разлика на квадрати". Всъщност формулата за "разлика на квадрати" тук може да се използва!
Това е така, защото 4, x, squared и 9 са точни квадрати, тъй като 4, x, squared, equals, left parenthesis, start color #11accd, 2, x, end color #11accd, right parenthesis, squared и 9, equals, left parenthesis, start color #1fab54, 3, end color #1fab54, right parenthesis, squared. Можем да използваме тази информация, за да разложим многочлена, като използваме формулата за "разлика на квадрати":
4x2−9=(2x)2−(3)2=(2x+3)(2x−3)\begin{aligned}4x^2-9 &=(\blueD {2x})^2-(\greenD{3})^2\\ \\ &=(\blueD {2x}+\greenD 3)(\blueD {2x}-\greenD 3) \end{aligned}
Бърза проверка чрез умножение проверява нашия отговор.

Провери знанията си

4) Разложи 25, x, squared, minus, 4.
Избери един отговор:

5) Разложи 64, x, squared, minus, 81.

6) Разложи 36, x, squared, minus, 1.

Задачи с повишена трудност

7*) Разложи x, start superscript, 4, end superscript, minus, 9 .

8*) Разложи 4, x, squared, minus, 49, y, squared.

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Вписване в профила
Все още няма публикации.
Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.