Основно съдържание

Курс: 7. клас (България) > Раздел 3

Урок 2: Разлагане чрез формулите за съкратено умножение

Разлагане на квадратни тричлени: разлика на квадрати

Научи как да разлагаш квадратни изрази от вида "разлика на квадратите". Например запиши x²-16 като (x+4)(x-4).

Разлагането на един многочлен представлява неговото представяне като произведение от два или повече многочлена. Това е обратното на умножаването на многочлени.

В този урок ще научим как да използваме формулата за разлика на квадрати, за да разлагаме определени многочлени. Ако не познаваш формулата за разлика на квадрати, моля виж нашето видео преди да продължиш.

Въведение: Формула за разлика на квадрати

Всеки многочлен, който е разлика на квадрати, може да бъде разложен чрез прилагането на следната формула:

a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)

Обърни внимание, че

a

b

в тази формула могат да бъдат произволни алгебрични изрази. Например за

a = x

b = 2

получаваме следното:

\begin{array}{r} x^{2} - 2^{2} = (x + 2) (x - 2) \end{array}

Многочленът

x^{2} - 4

сега е изразен в разложен вид,

(x + 2) (x - 2)

. Можем да развием дясната страна на това равенство, за да обосновем разлагането:

\begin{aligned} (x + 2) (x - 2) & = x (x - 2) + 2 (x - 2) \\ = x^{2} - 2 x + 2 x - 4 \\ = x^{2} - 4 \end{aligned}

След като вече разбираме формулата, нека да я използваме, за да разложим още няколко многочлена.

Пример 1: Разлагане на $x^{2} - 16$ ‍

x^{2}

, и

16

са точни квадрати, тъй като

x^{2} = (x)^{2}

16 = (4)^{2}

. С други думи:

x^{2} - 16 = (x)^{2} - (4)^{2}

Тъй като от единия квадрат изваждаме другия, можем да видим, че този многочлен представлява разлика на квадрати. Можем да използваме формулата за разлика на квадрати, за да разложим този израз:

a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)

В нашия случай

a = x

b = 4

. Следователно множителите в нашия многочлен са както следва:

(x)^{2} - (4)^{2} = (x + 4) (x - 4)

Можем да проверим нашата работа, за да сме сигурни, че произведението на двата множителя е

x^{2} - 16

Провери знанията си

1) Разложи $x^{2} - 25$ ‍.

2) Разложи $x^{2} - 100$ ‍.

Въпрос за размисъл

3) Можем ли да използваме формулата за "разлика на квадрати", за да разложим $x^{2} + 25$ ‍?

Пример 2: Разлагане на $4 x^{2} - 9$ ‍

Водещият коефициент не трябва задължително да е равен на

1

, за да използваме формулата за "разлика на квадрати". Всъщност формулата за "разлика на квадрати" тук може да се използва!

Това е така, защото

4 x^{2}

9

са точни квадрати, тъй като

4 x^{2} = (2 x)^{2}

9 = (3)^{2}

. Можем да използваме тази информация, за да разложим многочлена, като използваме формулата за "разлика на квадрати":

\begin{aligned} 4 x^{2} - 9 & = (2 x)^{2} - (3)^{2} \\ = (2 x + 3) (2 x - 3) \end{aligned}

Бърза проверка чрез умножение проверява нашия отговор.

Провери знанията си

4) Разложи $25 x^{2} - 4$ ‍.

5) Разложи $64 x^{2} - 81$ ‍.

6) Разложи $36 x^{2} - 1$ ‍.

Задачи с повишена трудност

7*) Разложи $x^{4} - 9$ ‍ .

Както

x^{4}

, така и

9

са точни квадрати, тъй като

x^{4} = (x^{2})^{2}

9 = (3)^{2}

. Тъй като имаме разлика от членовете, можем да използваме формулата за "разлика на квадратите", за да разложим многочлена.

\begin{aligned} x^{4} - 9 & = (x^{2})^{2} - (3)^{2} \\ = (x^{2} + 3) (x^{2} - 3) \end{aligned}

Обърни внимание, че можем да използваме формулата за "разлика на квадратите", за да разлагаме многочлени, които не са квадратни. Стига многочленът да може да се изрази като разлика на два квадрата, можем да използваме метода!

8*) Разложи $4 x^{2} - 49 y^{2}$ ‍.

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Вписване в профила

Сортирай по:

Все още няма публикации.

Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.

7. клас (България)

Курс: 7. клас (България) > Раздел 3

Въведение: Формула за разлика на квадрати

Пример 1: Разлагане на x2−16‍

Провери знанията си

Въпрос за размисъл

Пример 2: Разлагане на 4x2−9‍

Провери знанията си

Задачи с повишена трудност

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Пример 1: Разлагане на $x^{2} - 16$ ‍

Пример 2: Разлагане на $4 x^{2} - 9$ ‍