If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ако си зад уеб филтър, моля, увери се, че домейните *. kastatic.org и *. kasandbox.org са разрешени.

Основно съдържание

7. клас (България)

Курс: 7. клас (България) > Раздел 3

Урок 4: Разлагане чрез групиране
Математика
7. клас (България)
Разлагане на многочлени на множители
Разлагане чрез групиране
© 2023 Khan AcademyУсловия за ползванеДекларация за поверителностПолитика за Бисквитки

Разлагане чрез групиране

Класна стая на Google
Научи повече за метода на разлагане, наречен "групиране". Например можем да използваме групиране, за да запишем 2x²+8x+3x+12 като (2x+3)(x+4).

Какво трябва да знаеш за този урок

Разлагането на един многочлен представлява неговото представяне като произведение от два или повече многочлена. Това е обратното на умножаването на многочлени.
Вече видяхме няколко примера на разлагане. Но за този урок трябва да познаваш много добре намирането на общи делители чрез използване на разпределителното свойство. Например 6, x, squared, plus, 4, x, equals, 2, x, left parenthesis, 3, x, plus, 2, right parenthesis .

Какво ще научиш в този урок

В този урок ще научиш как да използваш метода на разлагане, наречен групиране.

Пример 1: Разлагане на 2, x, squared, plus, 8, x, plus, 3, x, plus, 12

Първо, обърни внимание, че няма делител, общ за всички членове на 2, x, squared, plus, 8, x, plus, 3, x, plus, 12. Въпреки това, ако групираме заедно първите два члена и последните два члена, всяка група има свой собствен НОД, или най-голям общ делител:
По-точно в първата група има НОД, равен на 2, x, а във втората група има НОД, равен на 3. Можем да изнесем тези делители, за да получим следния израз:
2, x, left parenthesis, x, plus, 4, right parenthesis, plus, 3, left parenthesis, x, plus, 4, right parenthesis
Обърни внимание, че това показва още един общ делител между двата члена: start color #e07d10, x, plus, 4, end color #e07d10. Можем да използваме разпределителното свойство, за да изнесем този общ делител.
Тъй като многочленът сега е изразен като произведение на два двучлена, той е в разложен вид. Можем да проверим своята работа чрез умножение и сравнение с първоначалния многочлен.

Пример 2: Разлагане на 3, x, squared, plus, 6, x, plus, 4, x, plus, 8

Нека да обобщим направеното по-горе, като разложим друг многочлен.
=3x2+6x+4x+8=(3x2+6x)+(4x+8)Групирай членовете=3x(x+2)+4(x+2)Намери НОД=3x(x+2)+4(x+2)Общ делител!=(x+2)(3x+4)Изнеси x+2\begin{aligned}&\phantom{=}3x^2+6x+4x+8\\\\ &=(3x^2+6x)+(4x+8)&&\small{\gray{\text{Групирай членовете}}}\\ \\ &=3x({x+2})+4({x+2})&&\small{\gray{\text{Намери НОД}}}\\ \\ &=3x(\goldD{x+2})+4(\goldD{x+2})&&\small{\gray{\text{Общ делител!}}}\\\\ &=(\goldD{x+2})(3x+4)&&\small{\gray{\text{Изнеси } x+2}} \end{aligned}
Разложеният вид е left parenthesis, x, plus, 2, right parenthesis, left parenthesis, 3, x, plus, 4, right parenthesis.

Провери знанията си

1) Разложи 9, x, squared, plus, 6, x, plus, 12, x, plus, 8.
Избери един отговор:

2) Разложи 5, x, squared, plus, 10, x, plus, 2, x, plus, 4.

3) Разложи 8, x, squared, plus, 6, x, plus, 4, x, plus, 3.

Пример 3: Разлагане на 3, x, squared, minus, 6, x, minus, 4, x, plus, 8

Когато методът на групиране се използва за разлагане на многочлени с отрицателни коефициенти трябва да се внимава повече.
Например за разлагане на 3, x, squared, minus, 6, x, minus, 4, x, plus, 8 може да се използват стъпките по-долу.
0=3x2−6x−4x+8(1)=(3x2−6x)+(−4x+8)Групирай членовете(2)=3x(x−2)+(−4)(x−2)Намери НОД(3)=3x(x−2)−4(x−2)Опрости(4)=3x(x−2)−4(x−2)Общ делител!(5)=(x−2)(3x−4)Изнеси x−2\begin{aligned}\phantom{0}&&&\phantom{=}3x^2-6x-4x+8\\\\ \small{\blueD{(1)}}&&&=(3x^2-6x)+(-4x+8)&&\small{\gray{\text{Групирай членовете}}}\\\\ \small{\blueD{(2)}}&&&=3x(x-2)+(-4)(x-2)&&\small{\gray{\text{Намери НОД}}}\\\\ \small{\blueD{(3)}}&&&=3x(x-2)-4(x-2)&&\small{\gray{\text{Опрости}}}\\\\ \small{\blueD{(4)}}&&&=3x(\goldD{x-2})-4(\goldD{x-2})&&\small{\gray{\text{Общ делител!}}}\\\\ \small{\blueD{(5)}}&&&=(\goldD{x-2})(3x-4)&&\small{\gray{\text{Изнеси $x-2$}}}\\\\ \end{aligned}
Разложеният вид на многочлена е left parenthesis, x, minus, 2, right parenthesis, left parenthesis, 3, x, minus, 4, right parenthesis. Можем да умножим двучлените, за да проверим своята работа.
Някои от горните стъпки може да изглеждат по-различно от това, което видя в първия пример, така че може да имаш въпроси.
Откъде дойде знакът "+" между групите?
В стъпка start color #11accd, left parenthesis, 1, right parenthesis, end color #11accd един знак „+“ е добавен между групите left parenthesis, 3, x, squared, –, 6, x, right parenthesis и left parenthesis, minus, 4, x, plus, 8, right parenthesis. Това е така, защото третият член left parenthesis, minus, 4, x, right parenthesis е отрицателен и знакът на члена трябва да бъде включен в групирането.
Изваждането на знака минус извън втората група е сложна работа. Например често срещана грешка е това да групираме 3, x, squared, minus, 6, x, minus, 4, x, plus, 8 като left parenthesis, 3, x, squared, minus, 6, x, right parenthesis, minus, left parenthesis, 4, x, plus, 8, right parenthesis. Но това групиране води до 3, x, squared, minus, 6, x, minus, 4, x, start color #ca337c, minus, 8, end color #ca337c, което не е същото като първоначалния израз.
Защо изнасяме minus, 4 вместо 4?
В стъпка start color #11accd, left parenthesis, 2, right parenthesis, end color #11accd изнесохме minus, 4, за да разкрием общ делител на left parenthesis, x, minus, 2, right parenthesis между членовете. Ако вместо това бяхме изнесли положително 4, нямаше да получим този общ двучленен делител, който виждаме по-горе:
(3x2−6x)+(−4x+8)=3x(x−2)+4(−x+2)\begin{aligned}(3x^2-6x)+(-4x+8)&=3x(\goldD{x-2})+4(\purpleC{-x+2})\\ \end{aligned}
Когато водещият член в една група е отрицателен, често трябва да изнесем отрицателен общ делител.

Провери знанията си

4) Разложи 2, x, squared, minus, 3, x, minus, 4, x, plus, 6.
Избери един отговор:

5) Разложи 3, x, squared, plus, 3, x, minus, 10, x, minus, 10.

6) Разложи 3, x, squared, plus, 6, x, minus, x, minus, 2.

Задача за упражнение

7*) Разложи 2, x, cubed, plus, 10, х, squared, plus, 3, x, plus, 15 .

Кога можем да използваме този метод на групиране?

Методът на групирането може да се използва за разлагане на многочлени, винаги когато между групите съществува общ делител.
Например можем да използваме метода на групиране, за да разложим 3, x, squared, plus, 9, x, plus, 2, x, plus, 6, тъй като той може да бъде записан както следва:
(3x2+9x)+(2x+6)=3x(x+3)+2(x+3)\begin{aligned}(3x^2+9x)+(2x+6)&=3x(\goldD{x+3})+2(\goldD{x+3})\\ \end{aligned}
Не можем обаче да използваме метода на групирането, за да разложим 2, x, squared, plus, 3, x, plus, 4, x, plus, 12, защото намирането на НОД от двете групи не дава общ делител!
(2x2+3x)+(4x+12)=x(2x+3)+4(x+3)\begin{aligned}(2x^2+3x)+(4x+12)&=x(\goldD{2x+3})+4(\purpleC{x+3})\\ \end{aligned}

Използване на групиране при разлагане на тричлени

Можеш да използваш групиране, за да разлагаш определени квадратни изрази с три члена (т.е. тричлени) като 2, x, squared, plus, 7, x, plus, 3. Това е така, защото можеш да преобразуваш израза както следва:
2, x, squared, plus, start color #11accd, 7, end color #11accd, x, plus, 3, equals, 2, x, squared, plus, start color #11accd, 1, end color #11accd, x, plus, start color #11accd, 6, end color #11accd, x, plus, 3
Тогава можеш да използваш групиране, за да разложиш 2, x, squared, plus, start color #11accd, 1, end color #11accd, x, plus, start color #11accd, 6, end color #11accd, x, plus, 3 като left parenthesis, x, plus, 3, right parenthesis, left parenthesis, 2, x, plus, 1, right parenthesis.
За повече информация за разлагането чрез метода на групиране на тричлени от втора степен като тези виж следващия ни урок.

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Вписване в профила
Все още няма публикации.
Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.