If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ако си зад уеб филтър, моля, увери се, че домейните *. kastatic.org и *. kasandbox.org са разрешени.

Основно съдържание

7. клас (България)

Курс: 7. клас (България) > Раздел 3

Урок 4: Разлагане чрез групиране
Математика
7. клас (България)
Разлагане на многочлени на множители
Разлагане чрез групиране
© 2023 Khan AcademyУсловия за ползванеДекларация за поверителностПолитика за Бисквитки

Разлагане на квадратни изрази: водещ коефициент ≠ 1

Класна стая на Google
Научи как да разлагаш квадратни изрази като произведение на два линейни бинома. Например 2x²+7x+3=(2x+1)(x+3).

Какво трябва да знаеш преди този урок

Методът на групиране може да се използва за разлагане на многочлени с 4 члена, като изнесем общите членове на няколко пъти. Ако това е нещо ново за теб, ще ти е от полза да разгледаш нашия урок Въведение към разлагане чрез групиране.
Преди да продължиш, ти препоръчваме също така да прегледаш урока за разлагане на квадратни изрази с водещ коефициент 1.

Какво ще научиш в този урок

В този урок ще използваме групиране, за да разложим квадратен израз с водещ коефициент, различен от 1, като 2, x, squared, plus, 7, x, plus, 3.

Пример 1: Разлагане на 2, x, squared, plus, 7, х, plus, 3

Тъй като водещият коефициент в израза left parenthesis, start color #11accd, 2, end color #11accd, x, squared, start color #e07d10, plus, 7, end color #e07d10, x, start color #aa87ff, plus, 3, end color #aa87ff, right parenthesis е start color #11accd, 2, end color #11accd, не можем да го разложим чрез метода с произведение от сборове.
Вместо това, за да разложим start color #11accd, 2, end color #11accd, x, squared, start color #e07d10, plus, 7, end color #e07d10, x, start color #aa87ff, plus, 3, end color #aa87ff, трябва да намерим две цели числа, произведението на които е start color #11accd, 2, end color #11accd, dot, start color #aa87ff, 3, end color #aa87ff, equals, 6 (водещият коефициент, умножен по константния член), и сборът им е start color #e07d10, 7, end color #e07d10 (коефициентът на x).
Тъй като start color #01a995, 1, end color #01a995, dot, start color #01a995, 6, end color #01a995, equals, 6 и start color #01a995, 1, end color #01a995, plus, start color #01a995, 6, end color #01a995, equals, 7, двете числа са start color #01a995, 1, end color #01a995 и start color #01a995, 6, end color #01a995.
Тези две числа ни подсказват как да разбием члена x в първоначалния израз. Така че можем да преобразуваме нашия многочлен така 2, x, squared, plus, 7, x, plus, 3, equals, 2, x, squared, plus, start color #01a995, 1, end color #01a995, x, plus, start color #01a995, 6, end color #01a995, x, plus, 3.
Сега можем да използваме групиране, за да разложим многочлена:
=  2x2+1x+6x+3 =(2x2+1x)+(6x+3)Групирай членовете  =x(2x+1)+3(2x+1)Намери НОД  =x(2x+1)+3(2x+1)Общ делител! =(2x+1)(x+3)Изнеси 2x+1
Разложеният вид е left parenthesis, 2, x, plus, 1, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 3, right parenthesis.
Можем да проверим нашата работа, като покажем, че при обратно умножение отново се получава 2, x, squared, plus, 7, x, plus, 3.

Обобщение

По принцип можеш да използваш следните стъпки, за да разложиш квадратен израз от вида start color #11accd, a, end color #11accd, x, squared, plus, start color #e07d10, b, end color #e07d10, x, plus, start color #aa87ff, c, end color #aa87ff:
  1. Започни, като намериш две числа, чието произведение е start color #11accd, a, end color #11accd, start color #aa87ff, c, end color #aa87ff и чийто сбор е start color #e07d10, b, end color #e07d10.
  2. Използвай тези числа, за да разделиш члена, който съдържа x.
  3. Използвай групиране, за да разложиш квадратния израз.

Провери знанията си

1) Разложи 3, x, squared, plus, 10, x, plus, 8.
Избери един отговор:

2) Разложи 4, x, squared, plus, 16, x, plus, 15.

Пример 2: Разлагане на 6, x, squared, minus, 5, x, minus, 4

За да разложим start color #11accd, 6, end color #11accd, x, squared, start color #e07d10, minus, 5, end color #e07d10, x, start color #aa87ff, minus, 4, end color #aa87ff, трябва да намерим две цели числа с произведение start color #11accd, 6, end color #11accd, dot, left parenthesis, start color #aa87ff, minus, 4, end color #aa87ff, right parenthesis, equals, minus, 24 и сума start color #e07d10, minus, 5, end color #e07d10.
Тъй като start color #01a995, 3, end color #01a995, dot, left parenthesis, start color #01a995, minus, 8, end color #01a995, right parenthesis, equals, minus, 24 и start color #01a995, 3, end color #01a995, plus, left parenthesis, start color #01a995, minus, 8, end color #01a995, right parenthesis, equals, minus, 5, числата са start color #01a995, 3, end color #01a995 и start color #01a995, minus, 8, end color #01a995.
Сега можем да запишем члена minus, 5, x като сума от start color #01a995, 3, end color #01a995, x и start color #01a995, minus, 8, end color #01a995, x и да използваме групиране, за да разложим многочлена:
= 6x2+3x−8x−4(1)=(6x2+3x)+(−8x−4)Групирай членовете(2)=3x(2x+1)+(−4)(2x+1)Намери най-големият общ множител(3)=3x(2x+1)−4(2x+1)Опрости(4)=3x(2x+1)−4(2x+1)Общ множител!(5)=(2x+1)(3x−4)Изнеси пред скоби (2x+1)\begin{aligned}&&&\phantom{=}~6x^2+\tealD{3}x\tealD{-8}x-4\\\\ \small{\blueD{(1)}}&&&=({6x^2+3x}){+(-8x-4)}&&\small{\gray{\text{Групирай членовете}}}\\ \\ \small{\blueD{(2)}}&&&=3x({2x+1})+(-4)({2x+1})&&\small{\gray{\text{Намери най-големият общ множител}}}\\ \\ \small{\blueD{(3)}}&&&=3x({2x+1})-4({2x+1})&&\small{\gray{\text{Опрости}}}\\ \\ \small{\blueD{(4)}}&&&=3x(\maroonD{2x+1})-4(\maroonD{2x+1})&&\small{\gray{\text{Общ множител!}}}\\\\ \small{\blueD{(5)}}&&&=(\maroonD{2x+1})(3x-4)&&\small{\gray{\text{Изнеси пред скоби } (2x+1)}}\\ \end{aligned}
Разложеният вид е left parenthesis, 2, x, plus, 1, right parenthesis, left parenthesis, 3, x, minus, 4, right parenthesis.
Можем да проверим нашата работа, като покажем, че при обратното умножение се получава 6, x, squared, minus, 5, x, minus, 4.
Обърни внимание: В стъпка start color #11accd, left parenthesis, 1, right parenthesis, end color #11accd по-горе, забележи, че понеже третият член е отрицателен, един "+" е вмъкнат между групите, за да запази израза еквивалентен на първоначалния израз. Също така в стъпка start color #11accd, left parenthesis, 2, right parenthesis, end color #11accd беше необходимо да намерим отрицателен най-голям общ множител от втората група, за да намерим общия множител left parenthesis, 2, x, plus, 1, right parenthesis. Внимавай със знаците!

Провери знанията си

3) Разложи 2, x, squared, minus, 3, x, minus, 9.
Избери един отговор:

4) Разложи 3, x, squared, minus, 2, x, minus, 5.

5) Разложи 6, x, squared, minus, 13, x, plus, 6.

Кога е полезен този метод?

Ясно е, че методът е полезен за разлагане на квадратни изрази от вида a, x, squared, plus, b, x, plus, c, дори и когато a, does not equal, 1.
Но не винаги е възможно квадратният израз от този вид да се разложи чрез нашия метод.
Например да вземем израза start color #11accd, 2, end color #11accd, x, squared, start color #e07d10, plus, 2, end color #e07d10, x, start color #aa87ff, plus, 1, end color #aa87ff. За да го разложим, трябва да намерим две цели числа с произведение start color #11accd, 2, end color #11accd, dot, start color #aa87ff, 1, end color #aa87ff, equals, 2 и сума start color #e07d10, 2, end color #e07d10. Колкото и да опитваш, няма да намериш две такива цели числа.
Следователно нашият метод не действа за start color #11accd, 2, end color #11accd, x, squared, start color #e07d10, plus, 2, end color #e07d10, x, start color #aa87ff, plus, 1, end color #aa87ff и за куп други квадратни изрази.
Полезно е да се помни обаче, че ако този метод не дава резултат, това означава, че изразът не може да бъде разложен като left parenthesis, A, x, plus, B, right parenthesis, left parenthesis, C, x, plus, D, right parenthesis, където A, B, C и D са цели числа.

Защо този метод действа?

Нека да анализираме по-задълбочено това защо този метод изобщо има успех. Ще трябва да използваме цял куп букви за целта, но моля имай търпение!
Да предположим, че общият квадратен израз a, x, squared, plus, b, x, plus, c може да се разложи като left parenthesis, start color #11accd, A, end color #11accd, x, plus, start color #e07d10, B, end color #e07d10, right parenthesis, left parenthesis, start color #1fab54, C, end color #1fab54, x, plus, start color #aa87ff, D, end color #aa87ff, right parenthesis с целите числа A, B, C и D.
Когато разкрием скобите, получаваме квадратния израз left parenthesis, start color #11accd, A, end color #11accd, start color #1fab54, C, end color #1fab54, right parenthesis, x, squared, plus, left parenthesis, start color #e07d10, B, end color #e07d10, start color #1fab54, C, end color #1fab54, plus, start color #11accd, A, end color #11accd, start color #aa87ff, D, end color #aa87ff, right parenthesis, x, plus, start color #e07d10, B, end color #e07d10, start color #aa87ff, D, end color #aa87ff.
Тъй като този израз е еквивалентен на a, x, squared, plus, b, x, plus, c, съответстващите коефициенти в двата израза трябва да бъдат равни! Това ни дава следната връзка между всички неизвестни букви:
left parenthesis, start underbrace, start color #11accd, A, end color #11accd, start color #1fab54, C, end color #1fab54, end underbrace, start subscript, a, end subscript, right parenthesis, x, squared, plus, left parenthesis, start underbrace, start color #e07d10, B, end color #e07d10, start color #1fab54, C, end color #1fab54, plus, start color #11accd, A, end color #11accd, start color #aa87ff, D, end color #aa87ff, end underbrace, start subscript, b, end subscript, right parenthesis, x, plus, left parenthesis, start underbrace, start color #e07d10, B, end color #e07d10, start color #aa87ff, D, end color #aa87ff, end underbrace, start subscript, c, end subscript, right parenthesis
Сега нека да определим m, equals, start color #e07d10, B, end color #e07d10, start color #1fab54, C, end color #1fab54 и n, equals, start color #11accd, A, end color #11accd, start color #aa87ff, D, end color #aa87ff.
left parenthesis, start underbrace, start color #11accd, A, end color #11accd, start color #1fab54, C, end color #1fab54, end underbrace, start subscript, a, end subscript, right parenthesis, x, squared, plus, left parenthesis, start underbrace, start overbrace, start color #e07d10, B, end color #e07d10, start color #1fab54, C, end color #1fab54, end overbrace, start superscript, m, end superscript, plus, start overbrace, start color #11accd, A, end color #11accd, start color #aa87ff, D, end color #aa87ff, end overbrace, start superscript, n, end superscript, end underbrace, start subscript, b, end subscript, right parenthesis, x, plus, left parenthesis, start underbrace, start color #e07d10, B, end color #e07d10, start color #aa87ff, D, end color #aa87ff, end underbrace, start subscript, c, end subscript, right parenthesis
Според това определение...
m, plus, n, equals, start color #e07d10, B, end color #e07d10, start color #1fab54, C, end color #1fab54, plus, start color #11accd, A, end color #11accd, start color #aa87ff, D, end color #aa87ff, equals, b
и
m, dot, n, equals, left parenthesis, start color #e07d10, B, end color #e07d10, start color #1fab54, C, end color #1fab54, right parenthesis, left parenthesis, start color #11accd, A, end color #11accd, start color #aa87ff, D, end color #aa87ff, right parenthesis, equals, left parenthesis, start color #11accd, A, end color #11accd, start color #1fab54, C, end color #1fab54, right parenthesis, left parenthesis, start color #e07d10, B, end color #e07d10, start color #aa87ff, D, end color #aa87ff, right parenthesis, equals, a, dot, c
И така start color #e07d10, B, end color #e07d10, start color #1fab54, C, end color #1fab54 и start color #11accd, A, end color #11accd, start color #aa87ff, D, end color #aa87ff са двете цели числа, които винаги търсим, когато използваме този метод на разлагане!
След намирането на m и n следващата стъпка в метода е да представим left parenthesis, b, right parenthesis, коефициентът пред x, според m и n и да разложим, като използваме групиране.
Да, ако представим членът, съдържащ x, left parenthesis, start color #e07d10, B, end color #e07d10, start color #1fab54, C, end color #1fab54, plus, start color #11accd, A, end color #11accd, start color #aa87ff, D, end color #aa87ff, right parenthesis, x, като left parenthesis, start color #e07d10, B, end color #e07d10, start color #1fab54, C, end color #1fab54, right parenthesis, x, plus, left parenthesis, start color #11accd, А, end color #11accd, start color #aa87ff, D, end color #aa87ff, right parenthesis, x, ще можем да използваме групиране, за да преобразуваме нашия израз обратно в left parenthesis, start color #11accd, A, end color #11accd, x, plus, start color #e07d10, B, end color #e07d10, right parenthesis, left parenthesis, start color #1fab54, C, end color #1fab54, x, plus, start color #aa87ff, D, end color #aa87ff, right parenthesis.
Нека обобщим, в този раздел ние...
  • започнахме с общия развит израз a, x, squared, plus, b, x, plus, c и неговото общо разлагане left parenthesis, A, x, plus, B, right parenthesis, left parenthesis, C, x, plus, D, right parenthesis,
  • успяхме да намерим две числа m и n, които са такива, че m, n, equals, a, c и m, plus, n, equals, b left parenthesisнаправихме това, като дефинирахме m, equals, B, C и n, equals, A, D, right parenthesis,
  • представихме съдържащия x член, b, x, като m, x, plus, n, x и успяхме да разложим развития израз обратно до left parenthesis, A, x, plus, B, right parenthesis, left parenthesis, C, x, plus, D, right parenthesis.
Този процес показва защо ако един израз наистина може да бъде разложен като left parenthesis, A, x, plus, B, right parenthesis, left parenthesis, C, x, plus, D, right parenthesis, с нашия метод гарантирано ще открием това разлагане.
Благодаря за издръжливостта!

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Вписване в профила
Все още няма публикации.
Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.