If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ако си зад уеб филтър, моля, увери се, че домейните *. kastatic.org и *. kasandbox.org са разрешени.

Основно съдържание

Разлагане на квадратни изрази: Точни квадрати

Научи как да разлагаш квадратни изрази от вида "разлика от квадрати". Например запиши x²+6+9 като (x+3)².
Разлагането на един многочлен представлява преобразуването му като произведение на два или повече многочлена. Това е обратното на процеса на умножение на многочлени.
В този урок ще научиш как да разлагаш тричлени, които съдържат точни квадрати, като използваш специални методи. Това е обратното действие на повдигането на двучлен на квадрат, така че трябва да си напълно наясно с него, преди да продължиш нататък.

Въведение: Разлагане на тричлени, които съдържат точни квадрати

За да развием който и да е двучлен, можем да използваме някоя от следните формули:
  • left parenthesis, start color #11accd, a, end color #11accd, plus, start color #1fab54, b, end color #1fab54, right parenthesis, squared, equals, start color #11accd, a, end color #11accd, squared, plus, 2, start color #11accd, a, end color #11accd, start color #1fab54, b, end color #1fab54, plus, start color #1fab54, b, end color #1fab54, squared
  • left parenthesis, start color #11accd, a, end color #11accd, minus, start color #1fab54, b, end color #1fab54, right parenthesis, squared, equals, start color #11accd, a, end color #11accd, squared, minus, 2, start color #11accd, a, end color #11accd, start color #1fab54, b, end color #1fab54, plus, start color #1fab54, b, end color #1fab54, squared
Обърни внимание, че във формулите всеки произволен алгебричен израз може да бъде a и b. Например да предположим, че искаме да развием left parenthesis, x, plus, 5, right parenthesis, squared. В този случай start color #11accd, a, end color #11accd, equals, start color #11accd, x, end color #11accd и start color #1fab54, b, end color #1fab54, equals, start color #1fab54, 5, end color #1fab54, затова получаваме:
(x+5)2=x2+2(x)(5)+(5)2=x2+10x+25\begin{aligned}(\blueD x+\greenD 5)^2&=\blueD x^2+2(\blueD x)(\greenD5)+(\greenD 5)^2\\\\ &=x^2+10x+25\end{aligned}
Можеш да провериш тази формула, като чрез умножение развиеш left parenthesis, x, plus, 5, right parenthesis, squared.
Противоположното действие на този процес е вид разлагане. Ако преобразуваме уравненията в обратен ред, ще имаме формули за разлагане на многочлени от вида a, squared, plus minus, 2, a, b, plus, b, squared.
  • start color #11accd, a, end color #11accd, squared, plus, 2, start color #11accd, a, end color #11accd, start color #1fab54, b, end color #1fab54, plus, start color #1fab54, b, end color #1fab54, squared, space, equals, left parenthesis, start color #11accd, a, end color #11accd, plus, start color #1fab54, b, end color #1fab54, right parenthesis, squared
  • start color #11accd, a, end color #11accd, squared, minus, 2, start color #11accd, a, end color #11accd, start color #1fab54, b, end color #1fab54, plus, start color #1fab54, b, end color #1fab54, squared, space, equals, left parenthesis, start color #11accd, a, end color #11accd, minus, start color #1fab54, b, end color #1fab54, right parenthesis, squared
Можем да използваме първата формула, за да разложим x, squared, plus, 10, x, plus, 25. Тук имаме start color #11accd, a, end color #11accd, equals, start color #11accd, x, end color #11accd и start color #1fab54, b, end color #1fab54, equals, start color #1fab54, 5, end color #1fab54.
x2+10x+25=x2+2(x)(5)+(5)2=(x+5)2\begin{aligned}x^2+10x+25&=\blueD x^2+2(\blueD x)(\greenD5)+(\greenD 5)^2\\\\ &=(\blueD x+\greenD 5)^2\end{aligned}
Изразите от този вид се наричат тричлени с точни квадрати. Името отразява факта, че този тип многочлени с три члена могат да бъдат изразени като точен квадрат!
Нека да разгледаме няколко примера, в които ще разложим тричлени с точни квадрати по тази формула.

Пример 1: Разлагане на x, squared, plus, 8, x, plus, 16

Обърни внимание, че първият и последният член са точни квадрати: x, squared, equals, left parenthesis, start color #11accd, x, end color #11accd, right parenthesis, squared и 16, equals, left parenthesis, start color #1fab54, 4, end color #1fab54, right parenthesis, squared. Освен това забележи, че средният член е два пъти произведението на числата, повдигнати на квадрат: 2, left parenthesis, start color #11accd, x, end color #11accd, right parenthesis, left parenthesis, start color #1fab54, 4, end color #1fab54, right parenthesis, equals, 8, x.
Това означава, че многочленът е тричлен с точни квадрати, така че можем да използваме следната формула за разлагане.
start color #11accd, a, end color #11accd, squared, plus, 2, start color #11accd, a, end color #11accd, start color #1fab54, b, end color #1fab54, plus, start color #1fab54, b, end color #1fab54, squared, space, equals, left parenthesis, start color #11accd, a, end color #11accd, plus, start color #1fab54, b, end color #1fab54, right parenthesis, squared
В нашия случай start color #11accd, a, end color #11accd, equals, start color #11accd, x, end color #11accd и start color #1fab54, b, end color #1fab54, equals, start color #1fab54, 4, end color #1fab54. Можем да разложим нашия многочлен както следва:
x2+8x+16=(x)2+2(x)(4)+(4)2=(x+4)2\begin{aligned}x^2+8x+16&=(\blueD x)^2+2(\blueD x)(\greenD 4)+(\greenD4)^2\\ \\ &=(\blueD{x}+\greenD{4})^2\end{aligned}
Можем да проверим нашата работа чрез развиване на left parenthesis, x, plus, 4, right parenthesis, squared:
(x+4)2=(x)2+2(x)(4)+(4)2=x2+8x+16\begin{aligned}(x+4)^2&=(x)^2+2(x)(4)+(4)^2\\ \\ &=x^2+8x+16 \end{aligned}

Провери знанията си

1) Разложи x, squared, plus, 6, x, plus, 9.
Избери един отговор:
Избери един отговор:

2) Разложи x, squared, minus, 6, x, plus, 9.
Избери един отговор:
Избери един отговор:

3) Разложи x, squared, plus, 14, x, plus, 49.

Пример 2: Разлагане на 4, x, squared, plus, 12, x, plus, 9

Не е необходимо водещият коефициент на тричлена с точни квадрати да бъде 1.
Например в 4, x, squared, plus, 12, x, plus, 9 забележи, че първият и последният член са точни квадрати: 4, x, squared, equals, left parenthesis, start color #11accd, 2, x, end color #11accd, right parenthesis, squared и 9, equals, left parenthesis, start color #1fab54, 3, end color #1fab54, right parenthesis, squared. Освен това забележи, че средният член е два пъти произведението на числата, повдигнати на квадрат: 2, left parenthesis, start color #11accd, 2, x, end color #11accd, right parenthesis, left parenthesis, start color #1fab54, 3, end color #1fab54, right parenthesis, equals, 12, x.
Тъй като отговаря на горните условия, 4, x, squared, plus, 12, x, plus, 9 е също тричлен с точни квадрати. Отново можем да използваме следната формула за разлагане.
start color #11accd, a, end color #11accd, squared, plus, 2, start color #11accd, a, end color #11accd, start color #1fab54, b, end color #1fab54, plus, start color #1fab54, b, end color #1fab54, squared, space, equals, left parenthesis, start color #11accd, a, end color #11accd, plus, start color #1fab54, b, end color #1fab54, right parenthesis, squared
В този случай start color #11accd, a, end color #11accd, equals, start color #11accd, 2, x, end color #11accd и start color #1fab54, b, end color #1fab54, equals, start color #1fab54, 3, end color #1fab54. Многочленът се разлага както следва:
4x2+12x+9=(2x)2+2(2x)(3)+(3)2=(2x+3)2\begin{aligned}4x^2+12x+9&=(\blueD {2x})^2+2(\blueD {2x})(\greenD 3)+(\greenD3)^2\\ \\ &=(\blueD{2x}+\greenD{3})^2\end{aligned}
Можем да проверим нашата работа чрез развиване на left parenthesis, 2, x, plus, 3, right parenthesis, squared.

Провери знанията си

4) Разложи 9, x, squared, plus, 30, x, plus, 25.
Избери един отговор:
Избери един отговор:

5) Разложи 4, x, squared, minus, 20, x, plus, 25.

Задачи с повишена трудност

6*) Разложи x, start superscript, 4, end superscript, plus, 2, x, squared, plus, 1.

7*) Разложи 9, x, squared, plus, 24, x, y, plus, 16, y, squared.