Ако виждаш това съобщение, значи уебсайтът ни има проблем със зареждането на външни ресурси.

If you're behind a web filter, please make sure that the domains *.kastatic.org and *.kasandbox.org are unblocked.

Основно съдържание

Разлагане на квадратни изрази: Точни квадрати

Научи как да разлагаш квадратни изрази от вида "разлика от квадрати". Например запиши x²+6+9 като (x+3)².
Разлагането на един многочлен представлява преобразуването му като произведение на два или повече многочлена. Това е обратното на процеса на умножение на многочлени.
В този урок ще научиш как да разлагаш тричлени, които съдържат точни квадрати, като използваш специални методи. Това е обратното действие на повдигането на двучлен на квадрат, така че трябва да си напълно наясно с него, преди да продължиш нататък.

Въведение: Разлагане на тричлени, които съдържат точни квадрати

За да развием който и да е двучлен, можем да използваме някоя от следните формули:
  • (a+b)2=a2+2ab+b2
  • (ab)2=a22ab+b2
Обърни внимание, че във формулите всеки произволен алгебричен израз може да бъде a и b. Например да предположим, че искаме да развием (x+5)2. В този случай a=x и b=5, затова получаваме:
(x+5)2=x2+2(x)(5)+(5)2=x2+10x+25
Можеш да провериш тази формула, като чрез умножение развиеш (x+5)2.
Противоположното действие на този процес е вид разлагане. Ако преобразуваме уравненията в обратен ред, ще имаме формули за разлагане на многочлени от вида a2±2ab+b2.
  • a2+2ab+b2 =(a+b)2
  • a22ab+b2 =(ab)2
Можем да използваме първата формула, за да разложим x2+10x+25. Тук имаме a=x и b=5.
x2+10x+25=x2+2(x)(5)+(5)2=(x+5)2
Изразите от този вид се наричат тричлени с точни квадрати. Името отразява факта, че този тип многочлени с три члена могат да бъдат изразени като точен квадрат!
Нека да разгледаме няколко примера, в които ще разложим тричлени с точни квадрати по тази формула.

Пример 1: Разлагане на x2+8x+16

Обърни внимание, че първият и последният член са точни квадрати: x2=(x)2 и 16=(4)2. Освен това забележи, че средният член е два пъти произведението на числата, повдигнати на квадрат: 2(x)(4)=8x.
Това означава, че многочленът е тричлен с точни квадрати, така че можем да използваме следната формула за разлагане.
a2+2ab+b2 =(a+b)2
В нашия случай a=x и b=4. Можем да разложим нашия многочлен както следва:
x2+8x+16=(x)2+2(x)(4)+(4)2=(x+4)2
Можем да проверим нашата работа чрез развиване на (x+4)2:
(x+4)2=(x)2+2(x)(4)+(4)2=x2+8x+16

Провери знанията си

1) Разложи x2+6x+9.
Избери един отговор:

2) Разложи x26x+9.
Избери един отговор:

3) Разложи x2+14x+49.

Пример 2: Разлагане на 4x2+12x+9

Не е необходимо водещият коефициент на тричлена с точни квадрати да бъде 1.
Например в 4x2+12x+9 забележи, че първият и последният член са точни квадрати: 4x2=(2x)2 и 9=(3)2. Освен това забележи, че средният член е два пъти произведението на числата, повдигнати на квадрат: 2(2x)(3)=12x.
Тъй като отговаря на горните условия, 4x2+12x+9 е също тричлен с точни квадрати. Отново можем да използваме следната формула за разлагане.
a2+2ab+b2 =(a+b)2
В този случай a=2x и b=3. Многочленът се разлага както следва:
4x2+12x+9=(2x)2+2(2x)(3)+(3)2=(2x+3)2
Можем да проверим нашата работа чрез развиване на (2x+3)2.

Провери знанията си

4) Разложи 9x2+30x+25.
Избери един отговор:

5) Разложи 4x220x+25.

Задачи с повишена трудност

6*) Разложи x4+2x2+1.

7*) Разложи 9x2+24xy+16y2.

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Все още няма публикации.
Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.