If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ако си зад уеб филтър, моля, увери се, че домейните *. kastatic.org и *. kasandbox.org са разрешени.

Основно съдържание

7. клас (България)

Курс: 7. клас (България) > Раздел 4

Урок 3: Уравнения от вида (ax+b)(cx+d)=0
Математика
7. клас (България)
Уравнения
Уравнения от вида (ax+b)(cx+d)=0
© 2023 Khan AcademyУсловия за ползванеДекларация за поверителностПолитика за Бисквитки

Решаване на квадратни уравнения чрез разлагане

Класна стая на Google
Научи как да решаваш квадратни уравнения като (x-1)(x+3)=0 и как да използваш разлагането на множители за решаване на други видове уравнения.

Какво трябва да знаеш, преди да започнеш този урок

Какво ще научиш в този урок

Досега решавахме линейни уравнения, които включват свободни членове (обикновени числа) и членове с променливи, повдигнати на първа степен left parenthesis, x, start superscript, 1, end superscript, equals, x, right parenthesis.
Решавали сме и някои квадратни уравнения, които включват променлива на втора степен, като сме намирали квадратния корен и от двете страни.
В този урок ще научиш нов начин за решаване на квадратни уравнения. И по-конкретно, ще научиш
  • Как да решаваш разложени на множители уравнения от вида left parenthesis, x, minus, 1, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 3, right parenthesis, equals, 0 и
  • как да използваш начините за разлагане, за да привеждаш други уравнения left parenthesisкато x, squared, minus, 3, x, minus, 10, equals, 0, right parenthesis в разложен вид и да ги решаваш.

Решаване на квадратни уравнения в разложен вид

Да предположим, че от нас се иска да решим квадратното уравнение left parenthesis, x, minus, 1, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 3, right parenthesis, equals, 0.
Това е произведение от два израза, което е равно на 0. Обърни внимание, че всяка стойност на x, при която left parenthesis, x, minus, 1, right parenthesis или left parenthesis, x, plus, 3, right parenthesis е равно на 0, прави произведението нула.
(x−1)(x+3)=0↙↘x−1=0x+3=0x=1x=−3\begin{aligned} (x-1)&(x+3)=0 \\\\ \swarrow\quad&\quad\searrow \\\\ x-1=0\quad&\quad x+3=0 \\\\ x=1\quad&\quad x=-3 \end{aligned}
Заместването или с x, equals, 1, или с x, equals, minus, 3 в уравнението ще доведе до вярното твърдение 0, equals, 0, така че и двете са решения на уравнението.
Сега реши няколко подобни уравнения самостоятелно.
Реши left parenthesis, x, plus, 5, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 7, right parenthesis, equals, 0.
Избери един отговор:

Реши left parenthesis, 2, x, minus, 1, right parenthesis, left parenthesis, 4, x, minus, 3, right parenthesis, equals, 0.
Избери един отговор:

Въпрос за размисъл

Може ли същият метод на решение да бъде приложен към уравнението left parenthesis, x, minus, 1, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 3, right parenthesis, equals, 6?
Избери един отговор:

Бележка за свойството на нулевото произведение

Откъде знаем, че при използването на този метод няма други решения, различни от двете, които намерихме?
Отговорът се определя от едно просто, но много полезно свойство, наречено свойство на нулевото произведение:
Ако произведението от две величини е равно на нула, тогава поне едната от тях трябва да е равна на нула.
Като заместим която и да е стойност на x, различна от нашите решенията, ще получим произведение на две числа, различни от нула, което означава, че произведението определено не е нула. Следователно знаем, че решенията ни са единствените възможни.

Решаване чрез разлагане

Да предположим, че искаме да решим уравнението x, squared, minus, 3, x, minus, 10, equals, 0, тогава всичко което трябва да направим, е да разложим x, squared, minus, 3, x, minus, 10 и да го решим както преди!
x, squared, minus, 3, x, minus, 10 може да бъде разложено като left parenthesis, x, plus, 2, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 5, right parenthesis.
Пълното решение на уравнението ще бъде както следва:
x2−3x−10=0(x+2)(x−5)=0Разложи на множители.\begin{aligned}x^2-3x-10&=0\\\\ (x+2)(x-5)&=0&&\text{Разложи на множители.}\end{aligned}
↙↘x+2=0x−5=0x=−2x=5\begin{aligned}&\swarrow&\searrow\\\\ x+2&=0&x-5&=0\\\\ x&=-2&x&=5\end{aligned}
Сега е твой ред да решиш няколко уравнения самостоятелно. Не забравяй, че различните уравнения изискват различни методи на разлагане.

Реши x, squared, plus, 5, x, equals, 0.

Стъпка 1. Разлагаме x, squared, plus, 5, x като произведение от два линейни израза.\quad

Стъпка 2. Реши уравнението.
Избери един отговор:

Реши x, squared, minus, 11, x, plus, 28, equals, 0.

Стъпка 1. Разлагаме x, squared, minus, 11, x, plus, 28 като произведение от два линейни израза.\quad

Стъпка 2. Реши уравнението.
Избери един отговор:

Реши 4, x, squared, plus, 4, x, plus, 1, equals, 0.

Стъпка 1. Разлагаме 4, x, squared, plus, 4, x, plus, 1 като произведение от два линейни израза.\quad

Стъпка 2. Реши уравнението.
Избери един отговор:

Реши 3, x, squared, plus, 11, x, minus, 4, equals, 0.

Стъпка 1. Разлагаме 3, x, squared, plus, 11, x, minus, 4 като произведение от два линейни израза.\quad

Стъпка 2. Реши уравнението.
Избери един отговор:

Подреждане на уравнението преди разлагане

Една от страните трябва да бъде нула.

Ето как става решаването на уравнението x, squared, plus, 2, x, equals, 40, minus, x:
x2+2x=40−xx2+2x−40+x=0Извади 40 и прибави x.x2+3x−40=0Събери подобните членове.(x+8)(x−5)=0Разложи на множители.\begin{aligned}x^2+2x&=40-x\\\\ x^2+2x-40+x&=0&&\text{Извади 40 и прибави }x\text{.}\\\\ x^2+3x-40&=0&&\text{Събери подобните членове.}\\\\ (x+8)(x-5)&=0&&\text{Разложи на множители.}\end{aligned}
↙↘x+8=0x−5=0x=−8x=5\begin{aligned}&\swarrow&\searrow\\\\ x+8&=0&x-5&=0\\\\ x&=-8&x&=5\end{aligned}
Преди да разложим, преработихме уравнението така, че всичките членове да са от една и съща страна, а другата страна остана нула. Само така е възможно да разложим и да използваме този метод на решаване.

Премахване на общите множители

Ето как става решаването на уравнението 2, x, squared, minus, 12, x, plus, 18, equals, 0:
2x2−12x+18=0x2−6x+9=0Раздели на 2.(x−3)2=0Разложи на множители.↓x−3=0x=3\begin{aligned}2x^2-12x+18&=0\\\\ x^2-6x+9&=0&&\text{Раздели на 2.}\\\\ (x-3)^2&=0&&\text{Разложи на множители.}\\\\ &\downarrow\\\\ x-3&=0\\\\ x&=3\end{aligned}
Всички членове първоначално имаха общ множител 2, така че разделихме всичките страни на 2 (нулевата страна остана нула), което направи разлагането по-лесно.
Сега реши няколко подобни уравнения самостоятелно.
Намери решенията на уравнението.
2, x, squared, minus, 3, x, minus, 20, equals, x, squared, plus, 34
Избери всички правилни отговори:

Намери решенията на уравнението.
3, x, squared, plus, 33, x, plus, 30, equals, 0
Избери всички правилни отговори:

Намери решенията на уравнението.
3, x, squared, minus, 9, x, minus, 20, equals, x, squared, plus, 5, x, plus, 16
Избери всички правилни отговори:

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Вписване в профила
Все още няма публикации.
Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.