Точно определяне на ротациите

Диалогът по-долу е между учител и ученик. Целта им е да опишат ротациите като цяло, използвайки прецизен математически език. Както ще видиш, ученикът трябва да коригира определенията няколко пъти, за да ги направи още по-прецизни. Забавлявай се!

Днес ще се опитаме да опишем какво правят ротациите в общ план.

Да предположим, че имаме ротация с $\theta$‍ градуса спрямо точката $P$‍. Как би описал ефекта от тази ротация върху друга точка $A$‍?

Какво искаш да кажеш? От къде мога да знам какво прави ротацията с $A$‍, след като не знам нищо за нея?

Вярно е, че не знаеш нищо за тази определена ротация, но всички ротации имат подобно поведение. Можеш ли да измислиш някакъв начин, за да опишеш какво прави ротацията с $A$‍?

Хммм... Нека помисля... Добре, предполагам, че $A$‍ се премества в различна п позиция по отношение на $P$‍. Например, ако $A$‍ беше вдясно от $P$‍, може би сега е над $P$‍ или нещо подобно. Това зависи от това колко голямо е $\theta$‍.

Ясно. Можем да опишем това, което току-що каза, както следва:

Да, съгласен съм с това определение.

Не забравяй обаче, че в математиката трябва да бъдем много прецизни. Само един начин ли има да образуваме ъгъл $\mathrm{\angle }P$‍, който е равен на $\theta$‍?

Нека да видя... Не, има два начина да създадем такъв ъгъл: по посока и обратно на часовниковата стрелка.

Разбрано! Ротациите са извършени обратно на часовниковата стрелка и нашето определение би трябвало да разпознае това:

Разбира се, ако $\theta$‍ е дадена като отрицателна мярка, ротацията е в противоположната посока, която е по посока на часовниковата стрелка.

Страхотно. Готови ли сме?

Ти ми кажи. Определението трябва да покаже абсолютно точно къде се премества $A$‍. С други думи, трябва да има само една точка, която да съвпада с описанието за $B$‍.

Само една точка ли има, която образува ъгъл, обратно на часовниковата стрелка, който е равен на $\theta$‍?

Така мисля... Чакай! Не! Има много точки, които образуват този ъгъл! Всяка точка на лъча, идваща от $P$‍ срещу $B$‍, образува ъгъл $\theta$‍ с $A$‍.

Добро наблюдение! И така, можеш ли да измислиш начин да направим определението още по-добро?

Да, като допълнение на това, че ъгълът е равен на $\theta$‍, разстоянието от $P$‍ трябва да остане същото. Мисля, че можеш да определиш това математически като $PA=PB$‍.

Браво! Можем да обобщим цялата ни работа в следното определение:

Уау, това е много точно!

Наистина. Като бонус, нека ти покажа друг начин да определяме ротациите:

Да, това също става, защото всичките точки на една окръжност имат едно и също разстояние от центъра.

Точно така! Основната разлика между двете определения, е че първото използва отсечки, а второто използва окръжност.

Страхотно. И така, това ли е?

Да. Мисля, че определихме ротациите възможно най-точно.