If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ако си зад уеб филтър, моля, увери се, че домейните *. kastatic.org и *. kasandbox.org са разрешени.

Основно съдържание

Ротация на фигури

Научи как да чертаеш образ на дадена фигура, подложена на зададена ротация около начална точка, за всяко кратно на 90°.

Въведение

В тази статия ще упражним изкуството на ротация на фигури. Говорейки математически, ще научим как да чертаем изображение на дадена фигура след дадена ротация.
Тази статия се фокусира върху ротации, кратни на 90 в двете посоки - положителната (обратно на часовниковата стрелка) и отрицателната (по посока на часовниковата стрелка).

Част 1: Ротация на точки с 90, 180 и 90

Нека разгледаме една примерна задача

Искаме да намерим изображението A на точката A(3;4), след ротация с 90 около центъра на координатната система.
Нека започнем, като визуализираме задачата. Положителните ротации са обратно на часовниковата стрелка, така че ротацията, която търсим, ще изглежда по подобен начин:
Чудесно, определихме A визуално. Но сега трябва да намерим точните координати. Има два начина да направим това.

Метод за решение 1: Визуален подход

Можем да си представим един правоъгълник, който има един връх в центъра на координатната система и срещуположен връх в A.
Ротация с 90 е като обръщане на правоъгълника върху страната му:
Сега виждаме, че образът на A(3;4) след ротацията е A(4;3).
Забележи, че е по-лесно да завъртим точките, които лежат върху осите, и това ни помага да намерим образа на A:
Точка(3;0)(0;4)(3;4)
Изображение(0;3)(4;0)(4;3)

Метод за решение 2: Алгебричен подход

Нека разгледаме по-отблизо точките A и A:
Точкаx-координатаy-координата
A34
A43
Забележи един интересен феномен: x-координатата на A става y-координатата на A, а срещуположната на y-координатата на A става x-координатата на A.
Можем да представим това математически както следва:
R(0;0),90(x;y)=(y;x)
Оказва се, че това е вярно за всяка точка, не само за A. Ето още няколко примера:
Освен това, оказва се, че ротациите с 180 или 90 следват подобни модели:
R(0;0),180(x;y)=(x;y)
R(0;0),90(x;y)=(y;x)
Можем да ги използваме, за да завъртим всяка една точка, която искаме, замествайки нейните координати в съответната формула.

Твой ред е!

Задача 1

Начертай образа на B(7;3) след ротацията R(0;0),90.

Задача 2

Начертай образа на точка C(5;6) след ротацията R(0;0),180.

Сравнение на графичен метод и алгебричен метод

Като цяло, всеки е свободен да избере кой от двата метода да използва. Различни хора, различен подход!
Алгебричният метод изисква по-малко работа и по-малко време, но трябва да помниш тези модели. Графичният метод е винаги на твое разположение, но може да ти отнеме по-дълго време за решаване.

Част 2: Разширяване до всяко кратно на 90

Нека разгледаме една примерна задача

Искаме да намерим образа D на точката D(5;4) след ротация с 270 около началото на координатната система.

Решение

Тъй като ротация с 270 е същото като ротация с 90 три пъти, можем да решим това графично, извършвайки три последователни ротации с 90:
Но почакай! Можем просто да завъртим с 90, вместо с 270. Тези ротации са еквивалентни. Провери го:
По същата причина можем също да използваме модела R(0;0),90(x;y)=(y;x):
R(0;0),270(5;4)=(4;5)

Нека разгледаме още една примерна задача

Искаме да намерим образа на (9;7) след ротация с 810 спрямо началото на координатната система.

Решение

Ротация с 810 е същото като две последователни ротации с 360, последвани от една ротация с 90, (защото 810=2360+90).
Ротация с 360 нанася всяка точка върху самата нея. С други думи, тя не променя нищо.
Така че ротация с 810 е същото като ротация с 90. Следователно можем просто да използваме модела R(0;0),90(x;y)=(y;x):
R(0;0),810(9;7)=(7;9)

Твой ред е!

Задача 1

Начертай образа на E(8;6) след ротация R(0;0),270.

Задача 2

Коя ротация е равносилна на ротацията R(0;0),990?
Избери един отговор:

Част 3: Ротация на многоъгълници

Нека разгледаме една примерна задача

Разгледай четириъгълник DEFG, начертан по-долу. Нека начертаем образа му DEFG след ротацията R(0;0),270.

Решение

Подобно на транслациите, при ротация на многоъгълник просто трябва да завъртим всичките му върхове и след това да свържем образите на върховете, за да намерим образа на многоъгълника.

Твой ред е!

Начертай образа на HIJ по-долу след ротация R(0;0),90.

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Все още няма публикации.
Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.