Основно съдържание
8. клас (България)
Курс: 8. клас (България) > Раздел 9
Урок 5: Ротация на фигури- Примери за ротация
- Ротация на фигури
- Ротация на фигури
- Ротация на фигури
- Ротации - преговор
- Завъртане на фигури: център ≠ (0,0)
- Завъртане на фигури: център ≠ (0,0)
- Въведение в ротационна симетрия
- Доказателства за ъгли и прави
- Точно определяне на ротациите
© 2023 Khan AcademyУсловия за ползванеДекларация за поверителностПолитика за Бисквитки
Ротация на фигури
Научи как да чертаеш образ на дадена фигура, подложена на зададена ротация около начална точка, за всяко кратно на 90°.
Въведение
В тази статия ще упражним изкуството на ротация на фигури. Говорейки математически, ще научим как да чертаем изображение на дадена фигура след дадена ротация.
Тази статия се фокусира върху ротации, кратни на 90, degrees в двете посоки - положителната (обратно на часовниковата стрелка) и отрицателната (по посока на часовниковата стрелка).
Част 1: Ротация на точки с 90, degrees, 180, degrees и minus, 90, degrees
Нека разгледаме една примерна задача
Искаме да намерим изображението A, prime на точката A, left parenthesis, 3, ;, 4, right parenthesis, след ротация с 90, degrees около центъра на координатната система.
Нека започнем, като визуализираме задачата. Положителните ротации са обратно на часовниковата стрелка, така че ротацията, която търсим, ще изглежда по подобен начин:
Чудесно, определихме A, prime визуално. Но сега трябва да намерим точните координати. Има два начина да направим това.
Метод за решение 1: Визуален подход
Можем да си представим един правоъгълник, който има един връх в центъра на координатната система и срещуположен връх в A.
Ротация с 90, degrees е като обръщане на правоъгълника върху страната му:
Сега виждаме, че образът на A, left parenthesis, 3, ;, 4, right parenthesis след ротацията е A, prime, left parenthesis, minus, 4, ;, 3, right parenthesis.
Забележи, че е по-лесно да завъртим точките, които лежат върху осите, и това ни помага да намерим образа на A:
| Точка | left parenthesis, 3, ;, 0, right parenthesis | left parenthesis, 0, ;, 4, right parenthesis | left parenthesis, 3, ;, 4, right parenthesis |
|---|---|---|---|
| Изображение | left parenthesis, 0, ;, 3, right parenthesis | left parenthesis, minus, 4, ;, 0, right parenthesis | left parenthesis, minus, 4, ;, 3, right parenthesis |
Метод за решение 2: Алгебричен подход
Нека разгледаме по-отблизо точките A и A, prime:
| Точка | x-координата | y-координата |
|---|---|---|
| A | start color #01a995, 3, end color #01a995 | start color #aa87ff, 4, end color #aa87ff |
| A, prime | minus, start color #aa87ff, 4, end color #aa87ff | start color #01a995, 3, end color #01a995 |
Забележи един интересен феномен: x-координатата на A става y-координатата на A, prime, а срещуположната на y-координатата на A става x-координатата на A, prime.
Можем да представим това математически както следва:
Оказва се, че това е вярно за всяка точка, не само за A. Ето още няколко примера:
Освен това, оказва се, че ротациите с 180, degrees или minus, 90, degrees следват подобни модели:
Можем да ги използваме, за да завъртим всяка една точка, която искаме, замествайки нейните координати в съответната формула.
Твой ред е!
Задача 1
Задача 2
Сравнение на графичен метод и алгебричен метод
Като цяло, всеки е свободен да избере кой от двата метода да използва. Различни хора, различен подход!
Алгебричният метод изисква по-малко работа и по-малко време, но трябва да помниш тези модели. Графичният метод е винаги на твое разположение, но може да ти отнеме по-дълго време за решаване.
Част 2: Разширяване до всяко кратно на 90, degrees
Нека разгледаме една примерна задача
Искаме да намерим образа D, prime на точката D, left parenthesis, minus, 5, ;, 4, right parenthesis след ротация с 270, degrees около началото на координатната система.
Решение
Тъй като ротация с 270, degrees е същото като ротация с 90, degrees три пъти, можем да решим това графично, извършвайки три последователни ротации с 90, degrees:
Но почакай! Можем просто да завъртим с minus, 90, degrees, вместо с 270, degrees. Тези ротации са еквивалентни. Провери го:
По същата причина можем също да използваме модела R, start subscript, left parenthesis, 0, ;, 0, right parenthesis, comma, minus, 90, degrees, end subscript, left parenthesis, start color #01a995, x, end color #01a995, ;, start color #aa87ff, y, end color #aa87ff, right parenthesis, equals, left parenthesis, start color #aa87ff, y, end color #aa87ff, ;, minus, start color #01a995, x, end color #01a995, right parenthesis:
Нека разгледаме още една примерна задача
Искаме да намерим образа на left parenthesis, minus, 9, ;, minus, 7, right parenthesis след ротация с 810, degrees спрямо началото на координатната система.
Решение
Ротация с 810, degrees е същото като две последователни ротации с 360, degrees, последвани от една ротация с 90, degrees, (защото 810, equals, 2, dot, 360, plus, 90).
Ротация с 360, degrees нанася всяка точка върху самата нея. С други думи, тя не променя нищо.
Така че ротация с 810, degrees е същото като ротация с 90, degrees. Следователно можем просто да използваме модела R, start subscript, left parenthesis, 0, ;, 0, right parenthesis, comma, 90, degrees, end subscript, left parenthesis, start color #01a995, x, end color #01a995, ;, start color #aa87ff, y, end color #aa87ff, right parenthesis, equals, left parenthesis, minus, start color #aa87ff, y, end color #aa87ff, ;, start color #01a995, x, end color #01a995, right parenthesis:
Твой ред е!
Задача 1
Задача 2
Част 3: Ротация на многоъгълници
Нека разгледаме една примерна задача
Разгледай четириъгълник D, E, F, G, начертан по-долу. Нека начертаем образа му D, prime, E, prime, F, prime, G, prime след ротацията R, start subscript, left parenthesis, 0, ;, 0, right parenthesis, comma, 270, degrees, end subscript.
Решение
Подобно на транслациите, при ротация на многоъгълник просто трябва да завъртим всичките му върхове и след това да свържем образите на върховете, за да намерим образа на многоъгълника.
Твой ред е!
Искаш ли да се присъединиш към разговора?
Все още няма публикации.