If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ако си зад уеб филтър, моля, увери се, че домейните *. kastatic.org и *. kasandbox.org са разрешени.

Основно съдържание

Курс: 8. клас (България) > Раздел 5

Урок 1: Непълни квадратни уравнения

Решаване на квадратни уравнения чрез коренуване

Научи как да решаваш квадратни уравнения като x^2=36 или (x-2)^2=49.

Какво трябва да знаеш, преди да започнеш този урок

Какво ще научиш в този урок

Досега решавахме линейни уравнения, които включват свободни членове (обикновени числа) и членове с променливи, повдигнати на първа степен (x1=x).
Сега ще научиш как да решаваш квадратни уравнения, които включват членове, при които променливата е повдигната на втора степен, x2.
Ето няколко примера за видовете квадратни уравнения, които ще се научиш да решаваш:
x2=36
(x2)2=49
2x2+3=131
Сега нека да пристъпим към работа.

Решаване на x2=36 и на подобни уравнения

Да предположим, че искаме да решим уравнението x2=36. Нека първо уточним какво се търси в уравнението. Търси се кое число, умножено по себе си, е равно на 36.
Ако тази задача ти звучи познато, това е защото тя е определянето на квадратен корен от 36, което е изразено математически като 36.
Ето как изглежда пълното решение на уравнението:
x2=36x2=36Намери квадратния корен.x=±36x=±6
Нека прегледаме как стигнахме до това решение.

Какво означава знакът ±

Обърни внимание, че всички положителни числа имат два квадратни корена: положителен квадратен корен и отрицателен квадратен корен. Например и 6, и 6, повдигнати на квадрат са равни на 36. Следователно това уравнение има две решения.
± е просто ефективен начин за представяне на тази идея математически. Например ±6 означава "или 6, или 6".

Забележка за обратимите действия

Когато решавахме линейни уравнения, намирахме променливата, използвайки обратните действия: Ако към променливата е добавено 3, изваждахме 3 от двете страни. Ако променливата е умножена по 4, разделяхме двете страни на 4.
Обратното действие на повдигането на квадрат е намирането на квадратния корен. Но за разлика от другите действия, когато намираме квадратния корен, трябва да не забравяме да намерим и двата, положителния и отрицателния квадратен корен.
Сега реши няколко подобни уравнения самостоятелно.
Задача 1
Реши x2=16.
x=±
  • Отговорът ти трябва да бъде
  • цяло число, като 6
  • несъкратима правилна дроб, като 3/5
  • несъкратима неправилна дроб, като 7/4
  • смесено число като 1 3/4
  • точна десетична дроб като 0.75
  • кратно на ПИ като 12 pi или 2/3 pi

Задача 2
Реши x2=81.
x=±
  • Отговорът ти трябва да бъде
  • цяло число, като 6
  • несъкратима правилна дроб, като 3/5
  • несъкратима неправилна дроб, като 7/4
  • смесено число като 1 3/4
  • точна десетична дроб като 0.75
  • кратно на ПИ като 12 pi или 2/3 pi

Задача 3
Реши x2=5.
Избери един отговор:

Решаване на (x2)2=49 и на подобни уравнения

Ето как се решава уравнението (x2)2=49:
(x2)2=49(x2)2=49Намери корен квадратен.x2=±7x=±7+2Добави 2.
Следователно решенията са x=9 и x=5.
Нека прегледаме как стигнахме до това решение.

Намиране на стойността на x

Като използвахме обратното действие и намерихме корен квадратен, премахнахме знака за квадрат. Това беше важно, за да получим x от първа степен, и освен това трябваше да прибавим 2 в последната стъпка, за да намерим окончателно стойността на x.

Разбиране на решенията

Работата ни завърши с x=±7+2. Как трябва да разбираме този израз? Не забравяй, че ±7 означава "+7 или 7". Следователно ние трябва да разделим нашия отговор според двата случая: или x=7+2 или x=7+2.
Това ни дава двете решения x=9 и x=5.
Сега реши няколко подобни уравнения самостоятелно.
Задача 4
Реши (x+3)2=25.
Избери един отговор:

Задача 5
Реши (2x1)2=9.
Избери един отговор:

Задача 6
Реши (x5)2=7.
Избери един отговор:

Защо не можем да разкрием скобите

Нека се върнем към нашето примерно уравнение (x2)2=49. Да предположим, че искаме да разкрием скобите. В крайна сметка, това е което правим при линейните уравнения, нали?
Разкриването на скобите води до следното уравнение:
x24x+4=49
Ако искаме да коренуваме това, трябва да намерим квадратния корен на израза x24x+4, но не е ясно дали x24x+4 може да се преработи като хубав израз.
За разлика от това намирането на корен квадратен на изрази като x2 или (x2)2 ни дава хубави изрази като x или (x2).
Следователно действително е полезно в квадратните уравнения да оставим нещата разложени, защото това ни позволява да намерим квадратния корен.

Решаване на 2x2+3=131 и на подобни уравнения

Не всички квадратни уравнения се решават непосредствено с намирането на квадратния корен. Понякога трябва да отделим члена, повдигнат на квадрат, преди да намерим корена му.
Например, за да решим уравнението 2x2+3=131, трябва първо да отделим x2 от едната страна. Това става по същия начин, както отделяме от едната страна члена x в линейно уравнение.
2x2+3=1312x2=128Извади 3.x2=64Раздели на 2.x2=64Намери корен квадратен.x=±8
Сега реши няколко подобни уравнения самостоятелно.
Задача 7
Реши 3x27=5.
Избери един отговор:

Задача 8
Реши 4(x1)2+2=38.
Избери един отговор:

Задача с повишена трудност
Реши x2+8x+16=9.
Избери един отговор:

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Все още няма публикации.
Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.