Основно съдържание
8. клас (България)
Курс: 8. клас (България) > Раздел 6
Урок 5: Вписани ъглиДоказване на теоремата за вписан ъгъл
Доказване на това, че вписаният ъгъл е половината от централния ъгъл, който отговаря на същата дъга.
Започваме
Преди да започнем да говорим за доказателството, нека се уверим, че разбираме някои от особените термини, свързани с окръжностите.
Ето едно кратко упражнение, за да провериш, дали можеш да използваш термините самостоятелно:
Добра работа! Ще използваме тези членове до края на упражнението.
Какво ще докажем
Ще докажем, че нещо много интересно се случва, когато даден вписан ъгъл left parenthesis, start color #11accd, \psi, end color #11accd, right parenthesis и даден централен ъгъл left parenthesis, start color #aa87ff, theta, end color #aa87ff, right parenthesis отсичат една и съща дъга: Мярката на централния ъгъл е два пъти мярката на вписания ъгъл.
Преглед на доказателството
За да докажем, че start color #aa87ff, theta, end color #aa87ff, equals, 2, start color #11accd, \psi, end color #11accd за всички start color #aa87ff, theta, end color #aa87ff и start color #11accd, \psi, end color #11accd (както ги определихме по-горе), трябва да разгледаме три отделни случая:
Случай A | Случай B | Случай C |
---|---|---|
Заедно тези случаи важат за всички възможни ситуации, при които вписаният и централният ъгъл отсичат една и съща дъга.
Случай A: Диаметърът лежи по дължината на един от лъчите на вписания ъгъл, start color #11accd, \psi, end color #11accd.
Стъпка 1: Намери равнобедрените триъгълници.
Отсечки start overline, start color #e84d39, B, C, end color #e84d39, end overline и start overline, start color #e84d39, B, D, end color #e84d39, end overline са и двете радиуси, така че имат еднаква дължина. Това означава, че triangle, C, B, D е равнобедрен, което означава също, че ъглите в основата му са еднакви:
Стъпка 2: Намери правия ъгъл.
Ъгъл angle, start color #e84d39, A, B, C, end color #e84d39 е прав ъгъл, така че
Стъпка 3: Състави уравнение и намери start color #11accd, \psi, end color #11accd.
Вътрешните ъгли на triangle, C, B, D са start color #11accd, \psi, end color #11accd, start color #11accd, \psi, end color #11accd и left parenthesis, 180, degrees, minus, start color #aa87ff, theta, end color #aa87ff, right parenthesis, а ние знаем, че вътрешните ъгли на всеки триъгълник имат сбор от 180, degrees.
Чудесно. Завършихме доказателството на Случай A. Останаха само още два случая!
Случай B: Диаметърът е между лъчите на вписания ъгъл, start color #11accd, \psi, end color #11accd.
Стъпка 1: Постъпи умно и начертай диаметъра
Използвайки диаметъра, нека разделим start color #11accd, \psi, end color #11accd на start color #11accd, \psi, start subscript, 1, end subscript, end color #11accd и start color #11accd, \psi, start subscript, 2, end subscript, end color #11accd, а start color #aa87ff, theta, end color #aa87ff на start color #aa87ff, theta, start subscript, 1, end subscript, end color #aa87ff, и start color #aa87ff, theta, start subscript, 2, end subscript, end color #aa87ff, както следва:
Стъпка 2: Използвай това, което научихме от Случай A, за да съставиш две уравнения.
На новия чертеж диаметърът разделя окръжността на две половини. Всяка половина има вписан ъгъл с лъч върху диаметъра. Това е същата ситуация, както в Случай A, така че знаем, че
и
заради това, което научихме в Случай A.
Стъпка 3: Събери уравненията.
Случай B е готов. Остана само още един случай!
Случай C: Диаметърът е извън лъчите на вписания ъгъл.
Стъпка 1: Постъпи умно и начертай диаметъра
Използвайки диаметъра, нека образуваме два нови ъгъла: start color #ed5fa6, theta, start subscript, 2, end subscript, end color #ed5fa6 и start color #e07d10, \psi, start subscript, 2, end subscript, end color #e07d10, както следва:
Стъпка 2: Използвай това, което научихме от Случай A, за да съставиш две уравнения.
Подобно на това, което направихме в Случай B, направихме чертеж, който ни позволява да използваме наученото от Случай A. От този чертеж знаем следното:
Стъпка 3: Замести и опрости.
И сме готови! Доказахме, че start color #aa87ff, theta, end color #aa87ff, equals, 2, start color #11accd, \psi, end color #11accd във всичките три случая.
Резюме на това, което направихме
Опитахме се да докажем, че мярката на централния ъгъл е два пъти мярката на вписания ъгъл, когато двата ъгъла отсичат една и съща дъга.
Започнахме доказателството, установявайки три случая. Заедно тези случаи важат за всички възможни ситуации, при които вписан ъгъл и централен ъгъл отсичат една и съща дъга.
Случай A | Случай B | Случай C |
---|---|---|
В Случай A намерихме равнобедрен триъгълник и прав ъгъл. От това съставихме няколко уравнения, като използвахме start color #11accd, \psi, end color #11accd и start color #7854ab, theta, end color #7854ab. С помощта на малко алгебрични изчисления доказахме, че start color #aa87ff, theta, end color #aa87ff, equals, 2, start color #11accd, \psi, end color #11accd.
В случаи B и C въведохме умело диаметъра:
Случай B | Случай C |
---|---|
Това прави възможно да използваме резултата от Случай A, който разгледахме. И в Случай B, и в Случай C съставихме уравнения, свързващи променливите във фигурите, което беше възможно само заради това, което научихме в Случай A. След като съставихме уравнението, извършихме малко алгебрични изчисления, за да покажем, че start color #aa87ff, theta, end color #aa87ff, equals, 2, start color #11accd, \psi, end color #11accd.
Искаш ли да се присъединиш към разговора?
Все още няма публикации.