If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ако си зад уеб филтър, моля, увери се, че домейните *. kastatic.org и *. kasandbox.org са разрешени.

Основно съдържание

8. клас (България)

Курс: 8. клас (България) > Раздел 6

Урок 5: Вписани ъгли
Математика
8. клас (България)
Окръжност
Вписани ъгли
© 2023 Khan AcademyУсловия за ползванеДекларация за поверителностПолитика за Бисквитки

Доказване на теоремата за вписан ъгъл

Класна стая на Google
Доказване на това, че вписаният ъгъл е половината от централния ъгъл, който отговаря на същата дъга.

Започваме

Преди да започнем да говорим за доказателството, нека се уверим, че разбираме някои от особените термини, свързани с окръжностите.
Ето едно кратко упражнение, за да провериш, дали можеш да използваш термините самостоятелно:
Използвайки чертежа, свържи променливите с членовете.
1

Добра работа! Ще използваме тези членове до края на упражнението.

Какво ще докажем

Ще докажем, че нещо много интересно се случва, когато даден вписан ъгъл left parenthesis, start color #11accd, \psi, end color #11accd, right parenthesis и даден централен ъгъл left parenthesis, start color #aa87ff, theta, end color #aa87ff, right parenthesis отсичат една и съща дъга: Мярката на централния ъгъл е два пъти мярката на вписания ъгъл.
start color #aa87ff, theta, end color #aa87ff, equals, 2, start color #11accd, \psi, end color #11accd

Преглед на доказателството

За да докажем, че start color #aa87ff, theta, end color #aa87ff, equals, 2, start color #11accd, \psi, end color #11accd за всички start color #aa87ff, theta, end color #aa87ff и start color #11accd, \psi, end color #11accd (както ги определихме по-горе), трябва да разгледаме три отделни случая:
Случай AСлучай BСлучай C
Заедно тези случаи важат за всички възможни ситуации, при които вписаният и централният ъгъл отсичат една и съща дъга.

Случай A: Диаметърът лежи по дължината на един от лъчите на вписания ъгъл, start color #11accd, \psi, end color #11accd.

Стъпка 1: Намери равнобедрените триъгълници.

Отсечки start overline, start color #e84d39, B, C, end color #e84d39, end overline и start overline, start color #e84d39, B, D, end color #e84d39, end overline са и двете радиуси, така че имат еднаква дължина. Това означава, че triangle, C, B, D е равнобедрен, което означава също, че ъглите в основата му са еднакви:
m, angle, C, equals, m, angle, D, equals, start color #11accd, \psi, end color #11accd

Стъпка 2: Намери правия ъгъл.

Ъгъл angle, start color #e84d39, A, B, C, end color #e84d39 е прав ъгъл, така че
θ+m∠DBC=180∘m∠DBC=180∘−θ\begin{aligned} \purpleC \theta + m\angle DBC &= 180^\circ \\\\ m\angle DBC &= 180^\circ - \purpleC \theta \end{aligned}

Стъпка 3: Състави уравнение и намери start color #11accd, \psi, end color #11accd.

Вътрешните ъгли на triangle, C, B, D са start color #11accd, \psi, end color #11accd, start color #11accd, \psi, end color #11accd и left parenthesis, 180, degrees, minus, start color #aa87ff, theta, end color #aa87ff, right parenthesis, а ние знаем, че вътрешните ъгли на всеки триъгълник имат сбор от 180, degrees.
ψ+ψ+(180∘−θ)=180∘2ψ+180∘−θ=180∘2ψ−θ=02ψ=θ\begin{aligned} \blueD{\psi} + \blueD{\psi} + (180^\circ- \purpleC{\theta}) &= 180^\circ \\\\ 2\blueD{\psi} + 180^\circ- \purpleC{\theta} &= 180^\circ \\\\ 2\blueD{\psi}- \purpleC{\theta} &=0 \\\\ 2\blueD{\psi} &=\purpleC{\theta} \end{aligned}
Чудесно. Завършихме доказателството на Случай A. Останаха само още два случая!

Случай B: Диаметърът е между лъчите на вписания ъгъл, start color #11accd, \psi, end color #11accd.

Стъпка 1: Постъпи умно и начертай диаметъра

Използвайки диаметъра, нека разделим start color #11accd, \psi, end color #11accd на start color #11accd, \psi, start subscript, 1, end subscript, end color #11accd и start color #11accd, \psi, start subscript, 2, end subscript, end color #11accd, а start color #aa87ff, theta, end color #aa87ff на start color #aa87ff, theta, start subscript, 1, end subscript, end color #aa87ff, и start color #aa87ff, theta, start subscript, 2, end subscript, end color #aa87ff, както следва:

Стъпка 2: Използвай това, което научихме от Случай A, за да съставиш две уравнения.

На новия чертеж диаметърът разделя окръжността на две половини. Всяка половина има вписан ъгъл с лъч върху диаметъра. Това е същата ситуация, както в Случай A, така че знаем, че
left parenthesis, 1, right parenthesis, start color #aa87ff, theta, start subscript, 1, end subscript, end color #aa87ff, equals, 2, start color #11accd, \psi, start subscript, 1, end subscript, end color #11accd
и
left parenthesis, 2, right parenthesis, start color #aa87ff, theta, start subscript, 2, end subscript, end color #aa87ff, equals, 2, start color #11accd, \psi, start subscript, 2, end subscript, end color #11accd
заради това, което научихме в Случай A.

Стъпка 3: Събери уравненията.

θ1+θ2=2ψ1+2ψ2Прибави (1) и (2)(θ1+θ2)=2(ψ1+ψ2)Групирай променливитеθ=2ψθ=θ1+θ2 и ψ=ψ1+ψ2\begin{aligned} \purpleC{\theta_1} + \purpleC{\theta_2} &= 2\blueD{\psi_1}+2\blueD{\psi_2}&\small \text{Прибави (1) и (2)} \\\\\\ (\purpleC{\theta_1} + \purpleC{\theta_2}) &= 2(\blueD{\psi_1}+\blueD{\psi_2}) &\small \text{Групирай променливите} \\\\\\ \purpleC{\theta} &= 2\blueD{\psi} &\small\purpleC{\theta=\theta_1+\theta_2} \text{ и } \blueD{\psi=\psi_1+\psi_2} \end{aligned}
Случай B е готов. Остана само още един случай!

Случай C: Диаметърът е извън лъчите на вписания ъгъл.

Стъпка 1: Постъпи умно и начертай диаметъра

Използвайки диаметъра, нека образуваме два нови ъгъла: start color #ed5fa6, theta, start subscript, 2, end subscript, end color #ed5fa6 и start color #e07d10, \psi, start subscript, 2, end subscript, end color #e07d10, както следва:

Стъпка 2: Използвай това, което научихме от Случай A, за да съставиш две уравнения.

Подобно на това, което направихме в Случай B, направихме чертеж, който ни позволява да използваме наученото от Случай A. От този чертеж знаем следното:
left parenthesis, 1, right parenthesis, start color #ed5fa6, theta, start subscript, 2, end subscript, end color #ed5fa6, equals, 2, start color #e07d10, \psi, start subscript, 2, end subscript, end color #e07d10
left parenthesis, 2, right parenthesis, left parenthesis, start color #ed5fa6, theta, start subscript, 2, end subscript, end color #ed5fa6, plus, start color #aa87ff, theta, end color #aa87ff, right parenthesis, equals, 2, left parenthesis, start color #e07d10, \psi, start subscript, 2, end subscript, end color #e07d10, plus, start color #11accd, \psi, end color #11accd, right parenthesis

Стъпка 3: Замести и опрости.

(θ2+θ)=2(ψ2+ψ)(2)(2ψ2+θ)=2(ψ2+ψ)θ2=2ψ22ψ2+θ=2ψ2+2ψθ=2ψ\begin{aligned} (\maroonC{\theta_2} + \purpleC{\theta}) &= 2(\goldD{\psi_2} + \blueD{\psi})&\small \text{(2)} \\\\\\ (2\goldD{\psi_2} + \purpleC{\theta})&= 2(\goldD{\psi_2} + \blueD{\psi}) &\small \maroonC{\theta_2}=2\goldD{\psi_2} \\\\\\ 2\goldD{\psi_2}+ \purpleC{\theta} &= 2\goldD{\psi_2} + 2\blueD{\psi} \\\\\\ \purpleC{\theta} &= 2\blueD{\psi} \end{aligned}
И сме готови! Доказахме, че start color #aa87ff, theta, end color #aa87ff, equals, 2, start color #11accd, \psi, end color #11accd във всичките три случая.

Резюме на това, което направихме

Опитахме се да докажем, че мярката на централния ъгъл е два пъти мярката на вписания ъгъл, когато двата ъгъла отсичат една и съща дъга.
Започнахме доказателството, установявайки три случая. Заедно тези случаи важат за всички възможни ситуации, при които вписан ъгъл и централен ъгъл отсичат една и съща дъга.
Случай AСлучай BСлучай C
В Случай A намерихме равнобедрен триъгълник и прав ъгъл. От това съставихме няколко уравнения, като използвахме start color #11accd, \psi, end color #11accd и start color #7854ab, theta, end color #7854ab. С помощта на малко алгебрични изчисления доказахме, че start color #aa87ff, theta, end color #aa87ff, equals, 2, start color #11accd, \psi, end color #11accd.
В случаи B и C въведохме умело диаметъра:
Случай BСлучай C
Това прави възможно да използваме резултата от Случай A, който разгледахме. И в Случай B, и в Случай C съставихме уравнения, свързващи променливите във фигурите, което беше възможно само заради това, което научихме в Случай A. След като съставихме уравнението, извършихме малко алгебрични изчисления, за да покажем, че start color #aa87ff, theta, end color #aa87ff, equals, 2, start color #11accd, \psi, end color #11accd.

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Вписване в профила
Все още няма публикации.
Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.