If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ако си зад уеб филтър, моля, увери се, че домейните *. kastatic.org и *. kasandbox.org са разрешени.

Основно съдържание

8. клас (България)

Курс: 8. клас (България) > Раздел 7

Урок 3: Събиране и изваждане на рационални дроби

Събиране и изваждане на рационални изрази

Научи ли основното за събиране/изваждане на рационални изрази? Чудесно! Сега натрупай още опит с няколко по-сложни примера.

Какво трябва да знаем преди този урок

Рационален израз е частното на два израза (полинома).
При събиране или изваждане на два рационални израза с еднакъв знаменател просто събираме или изваждаме числителите и записваме резултата върху общия знаменател.
Когато знаменателите не са еднакви, трябва да ги трансформираме така, че да станат еднакви. С други думи, трябва да намерим общ знаменател.
Ако този материал е нов за теб, може би ще поискаш да прегледаш първо следните уроци:

Какво ще научиш в този урок

В този урок ще упражняваш събирането и изваждането на рационални изрази с различни знаменатели. Ще използваш най-малкия общ знаменател като общ знаменател в тези примери и ще разбереш защо е полезно да го правиш.

Загрявка: 3x22x+1

За да извършим изваждане на два рационални израза, двете дроби трябва да имат еднакъв знаменател.
В този пример можем да създадем общ знаменател, като умножим първата дроб по (x+1x+1), а втората дроб по (x2x2).
След това можем да извадим числителите и да запишем резултата върху общия знаменател.
=3x22x+1=3x2(x+1x+1)2x+1(x2x2)=3(x+1)(x2)(x+1)2(x2)(x+1)(x2)=3(x+1)2(x2)(x2)(x+1)=3x+32x+4(x2)(x+1)=x+7(x2)(x+1)

Провери знанията си

Задача 1
Събери.
Знаменателят трябва да се развие и опрости. Знаменателят трябва да е или развит, или разложен на множители.
5xx+3+4x+2=

Най-малки общи знаменатели

Обикновени дроби

Понякога знаменателите на две дроби са различни, но имат някои общи множители.
Наприме разгледай 34+16:
=34+16=322+123=322(33)+123(22)=912+212=1112
Обърни внимание, че общият знаменател, използван в този пример, не е произведението на двата отделни знаменателя (24). Вместо това той е най-малкото общо кратно на 4 и 6 (12).
Най-малкото общо кратно на знаменателите на две или повече дроби се нарича най-малък общ знаменател.

Изрази с променливи

Нека сега да приложим това обяснение, за да извършим следното събиране:
2(x2)(x+1)+3(x+1)(x+3)
Първо да намерим най-малкия общ знаменател:
2(x2)(x+1)Трябва aда се умножи по (x+3)+3(x+1)(x+3)Трябва aда се умножи по (x2)
Следователно най-малкият общ знаменател е (x2)(x+1)(x+3).
Можем да съберем рационалните изрази, както следва:
=2(x2)(x+1)+3(x+1)(x+3)=2(x2)(x+1)(x+3x+3)+3(x+1)(x+3)(x2x2)=2(x+3)(x2)(x+1)(x+3)+3(x2)(x+1)(x+3)(x2)=2(x+3)+3(x2)(x2)(x+1)(x+3)=2x+6+3x6(x2)(x+1)(x+3)=5x(x2)(x+1)(x+3)

Провери знанията си

Задача 2
Събери.
Знаменателят трябва да се развие и опрости. Знаменателят трябва да е или развит, или разложен на множители.
1x(x6)+3(x+1)(x6)=

Задача 3
Извади.
Знаменателят трябва да се развие и опрости. Знаменателят трябва да е или развит, или разложен на множители.
3x2(x1)4(x1)(x+2)=

Задача с повишена трудност
Събери.
Знаменателят трябва да се развие и опрости. Знаменателят трябва да е или развит, или разложен на множители.
2x21+1x23x4=

Защо да използваш най-малкия общ знаменател?

Може би се чудиш защо е толкова важно да използваш най-малкия общ знаменател, за да събираш или изваждаш рационални изрази.
В края на краищата, това не е задължително и е достатъчно лесно да използваш други знаменатели с обикновените дроби.
Например в таблицата по-долу е изчислено 34+16 с използване на два различни общи знаменателя: в единия се използва най-малкият общ знаменател (12), а в другия се използва произведението на двата знаменателя (24).
Най-малък общ знаменател (12)Общ знаменател (24)
 34+16=34(33)+16(22)=912+212=11121234+16=34(66)+16(44)=1824+424=2224=1112
Обърни внимание, че когато използваш 24 като общ знаменател, е необходима повече работа. Числата са по-големи и се налага получената крайна дроб да бъде опростена.
Това ще се случи също, ако не използваш най-малкия общ знаменател при събиране и изваждане на рационални изрази.
При рационалните изрази, обаче, този процес е много по-сложен, тъй като числителите и знаменателите са многочлени, а не цели числа! Ще трябва да извършваш аритметични операции с многочлени от по-висока степен и да разлагаш многочлени, за да опростиш дробния израз.
Цялата тази допълнителна работа може да се избегне, ако използваш най-малкия общ знаменател при събирането и изваждането на рационални изрази.

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Все още няма публикации.
Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.