If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ако си зад уеб филтър, моля, увери се, че домейните *. kastatic.org и *. kasandbox.org са разрешени.

Основно съдържание

8. клас (България)

Курс: 8. клас (България) > Раздел 7

Урок 4: Умножение, деление и степенуване на рационални дроби
Математика
8. клас (България)
Рационални изрази
Умножение, деление и степенуване на рационални дроби
© 2023 Khan AcademyУсловия за ползванеДекларация за поверителностПолитика за Бисквитки

Деление на рационални изрази

Класна стая на Google
Научи как да намираш частното на два рационални израза.

Какво трябва да знаеш, преди да започнеш този урок

Рационален израз е отношението на два цели израза (полинома). Дефиниционното множество на един рационален израз включва всички реални числа, с изключение на онези, за които знаменателят е равен на нула.
Можем да умножаваме рационалните изрази почти по същия начин, както умножаваме десетичните дроби — чрез разлагане, съкращаване на общи множители и прилагане на простото тройно правило.
Ако това не ти е познато, вероятно ще искаш да прегледашe първо следните уроци:

Какво ще научиш в този урок

В този урок ще научиш как да делиш рационални изрази.

Деление на обикновени дроби

При делението на обикновени дроби умножаваме делимото (първата дроб) по реципрочното на делителя (втората дроб). Например:
=29:83=29⋅38Умножи по реципрочното=23⋅3⋅32⋅4Разложи числителите и знаменателите=23⋅3⋅32⋅4Съкрати общите множители=112Умножи\begin{aligned} &\phantom{=}\dfrac{2}{9}\mathbin{:}{\dfrac{8}{3}}\\\\\\ &=\dfrac{2}{9}\cdot {\dfrac{3}{8}}&&\small{\gray{\text{Умножи по реципрочното}}}\\ \\ &=\dfrac{\blueD2}{\greenD3\cdot 3}\cdot \dfrac{\greenD3}{\blueD2\cdot 4}&&\small{\gray{\text{Разложи числителите и знаменателите}}}\\\\ &=\dfrac{\blueD{\cancel{2}}}{\greenD{\cancel{3}}\cdot 3}\cdot \dfrac{\greenD{\cancel{3}}}{\blueD{\cancel{2}}\cdot 4}&&\small{\gray{\text{Съкрати общите множители}}}\\\\ &=\dfrac{1}{12}&&\small{\gray{\text{Умножи}}} \end{aligned}
Същия метод можем да използваме и при деление на рационални изрази.

Пример 1: start fraction, 3, x, start superscript, 4, end superscript, divided by, 4, end fraction, colon, start fraction, 9, x, divided by, 10, end fraction

=3x44:9x10=3x44⋅109xУмножи по реципрочното=3⋅x⋅x32⋅2⋅2⋅53⋅3⋅xРазложи числителите и знаменателите=3⋅x⋅x32⋅2⋅2⋅53⋅3⋅xСъкрати общите множители=5x36Умножи\begin{aligned} &\phantom{=}\dfrac{3x^4}{4}\mathbin{:}\dfrac{9x}{10}\\\\\\ &=\dfrac{3x^4}{4}\cdot \dfrac{10}{9x}&&\small{\gray{\text{Умножи по реципрочното}}}\\ \\ &=\dfrac{\blueD3\cdot \greenD{x}\cdot x^3}{\goldD2\cdot 2}\cdot \dfrac{\goldD 2\cdot 5}{\blueD3\cdot 3\cdot \greenD{x}}&&\small{\gray{\text{Разложи числителите и знаменателите}}}\\\\ &=\dfrac{\blueD{\cancel{3}}\cdot \greenD{\cancel{x}}\cdot x^3}{\goldD{\cancel{2}}\cdot 2}\cdot \dfrac{\goldD{\cancel{2}}\cdot 5}{\blueD{\cancel{3}}\cdot 3\cdot \greenD{\cancel{x}}}&&\small{\gray{\text{Съкрати общите множители}}}\\\\ &=\dfrac{5x^3}{6}&&\small{\gray{\text{Умножи}}} \end{aligned}
Както обикновено, имаме си работа с допустими и недопустими стойности. Когато извършваме деление на два рационални израза, частното е неопределено:
  • за всяка стойност, която прави всеки от първоначалните рационални изрази недефиниран,
  • и за всяка стойност, за която делителят е равен на нула.
За да обобщим, изразът, който е резултатът от start fraction, A, divided by, B, end fraction, colon, start fraction, C, divided by, D, end fraction, е неопределен, когато или B, equals, 0, или C, equals, 0, или D, equals, 0.
Нека разгледаме делимото и делителя в тази задача, за да определим дефиниционното множество.
  • Делимото start fraction, 3, x, start superscript, 4, end superscript, divided by, 4, end fraction е дефинирано за всички стойности на x.
  • Делителят start fraction, 9, x, divided by, 10, end fraction е дефиниран за всички стойности на x и е равен на нула при x, equals, 0.
Следователно можем да заключим, че полученото частно е дефинирано при x, does not equal, 0. Това е крайният ни отговор:
start fraction, 5, x, cubed, divided by, 6, end fraction за x, does not equal, 0

Провери знанията си

1) Раздели и опрости резултата.
start fraction, 3, divided by, 10, x, squared, end fraction, colon, start fraction, 6, divided by, 15, x, start superscript, 5, end superscript, end fraction, equals
при x, does not equal
  • Отговорът ти трябва да бъде
  • цяло число, като 6
  • несъкратима правилна дроб, като 3, slash, 5
  • несъкратима неправилна дроб, като 7, slash, 4
  • смесено число като 1, space, 3, slash, 4
  • точна десетична дроб като 0, point, 75
  • кратно на ПИ като 12, space, start text, p, i, end text или 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Пример 2: start fraction, x, squared, plus, x, minus, 6, divided by, x, squared, plus, 3, x, minus, 10, end fraction, colon, start fraction, x, plus, 3, divided by, x, minus, 5, end fraction

Както обикновено, умножаваме делимото по реципрочното на делителя. След това извършваме разлагане, съкращаваме общите множители и умножаваме числителите и знаменателите. Накрая определяме кои са недопустимите стойности.
=x2+x−6x2+3x−10:x+3x−5=x2+x−6x2+3x−10⋅x−5x+3Умножи по реципрочното=(x+3)(x−2)(x+5)(x−2)⋅x−5x+3Извърши разлагане=(x+3)(x−2)(x+5)(x−2)⋅(x−5)x+3Съкрати общите множители=x−5x+5Умножи в числителя и в знаменателя\begin{aligned} &\phantom{=}\dfrac{x^2+x-6}{x^2+3x-10}\mathbin{:} \dfrac{x+3}{x-5}\\\\\\ &=\dfrac{x^2+x-6}{x^2+3x-10}\cdot \dfrac{x-5}{x+3}&&\small{\gray{\text{Умножи по реципрочното}}}\\ \\ &=\dfrac{\blueD{(x+3)}\greenD{(x-2)}}{(x+5)\greenD{(x-2)}}\cdot \dfrac{x-5}{\blueD{x+3}}&&\small{\gray{\text{Извърши разлагане}}}\\\\ &=\dfrac{\blueD{\cancel{(x+3)}}\greenD{\cancel{(x-2)}}}{(x+5)\greenD{\cancel{(x-2)}}}\cdot \dfrac{(x-5)}{\blueD{\cancel{x+3}}}&&\small{\gray{\text{Съкрати общите множители}}}\\\\ &=\dfrac{x-5}{x+5}&&\small{\gray{\text{Умножи в числителя и в знаменателя}}} \end{aligned}
Нека разгледаме делимото и делителя в тази задача, за да определим ограниченията на дефиниционното множество. Най-лесно е да използваме тези изрази в разложения им вид.
  • Делимото start fraction, left parenthesis, x, plus, 3, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 2, right parenthesis, divided by, left parenthesis, x, plus, 5, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 2, right parenthesis, end fraction е дефинирано за всяко число, освен x, does not equal, minus, 5, ;, 2.
  • Делителят start fraction, x, plus, 3, divided by, x, minus, 5, end fraction е дефиниран за всяко число, освен при x, does not equal, 5 и е равен на нула при x, equals, minus, 3.
Следователно можем да заключим, че полученото частно е дефинирано за всяко x, does not equal, minus, 5, ;, minus, 3, ;, 2, ;, 5.
Ето защо трябва да подчертаем, че x, does not equal, 5, ;, 2, ;, minus, 3. Няма защо да подчертаваме, че x, does not equal, minus, 5, тъй като това е ясно от израза. Крайният ни отговор е следният:
start fraction, x, minus, 5, divided by, x, plus, 5, end fraction за x, does not equal, 5, ;, 2, ;, minus, 3

Провери знанията си

2) Раздели и опрости произведението.
start fraction, x, minus, 7, divided by, x, squared, minus, 4, end fraction, colon, start fraction, x, squared, minus, 6, x, minus, 7, divided by, 2, x, plus, 4, end fraction, equals
Какви са границите на дефиниционното множество на получения израз?
Избери всички правилни отговори:

3) Раздели и опрости произведението.
start fraction, x, plus, 4, divided by, x, squared, minus, 9, end fraction, colon, start fraction, x, minus, 1, divided by, x, squared, minus, 4, x, plus, 3, end fraction, equals
Какви са границите на дефиниционното множество на получения израз?
Избери всички правилни отговори:

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Вписване в профила
Все още няма публикации.
Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.