Основно съдържание

8. клас (България)

Курс: 8. клас (България) > Раздел 7

Урок 4: Умножение, деление и степенуване на рационални дроби

Деление на рационални изрази

Научи как да намираш частното на два рационални израза.

Какво трябва да знаеш, преди да започнеш този урок

Рационален израз е отношението на два цели израза (полинома). Дефиниционното множество на един рационален израз включва всички реални числа, с изключение на онези, за които знаменателят е равен на нула.

Можем да умножаваме рационалните изрази почти по същия начин, както умножаваме десетичните дроби — чрез разлагане, съкращаване на общи множители и прилагане на простото тройно правило.

Ако това не ти е познато, вероятно ще искаш да прегледашe първо следните уроци:

Какво ще научиш в този урок

В този урок ще научиш как да делиш рационални изрази.

Деление на обикновени дроби

При делението на обикновени дроби умножаваме делимото (първата дроб) по реципрочното на делителя (втората дроб). Например:

\begin{aligned} \frac{2}{9} : \frac{8}{3} \\ = \frac{2}{9} \cdot \frac{3}{8} & Умножи по реципрочното \\ = \frac{2}{3 \cdot 3} \cdot \frac{3}{2 \cdot 4} & Разложи числителите и знаменателите \\ = \frac{2}{3 \cdot 3} \cdot \frac{3}{2 \cdot 4} & Съкрати общите множители \\ = \frac{1}{12} & Умножи \end{aligned}

Същия метод можем да използваме и при деление на рационални изрази.

Пример 1: $\frac{3 x^{4}}{4} : \frac{9 x}{10}$ ‍

\begin{aligned} \frac{3 x^{4}}{4} : \frac{9 x}{10} \\ = \frac{3 x^{4}}{4} \cdot \frac{10}{9 x} & Умножи по реципрочното \\ = \frac{3 \cdot x \cdot x^{3}}{2 \cdot 2} \cdot \frac{2 \cdot 5}{3 \cdot 3 \cdot x} & Разложи числителите и знаменателите \\ = \frac{3 \cdot x \cdot x^{3}}{2 \cdot 2} \cdot \frac{2 \cdot 5}{3 \cdot 3 \cdot x} & Съкрати общите множители \\ = \frac{5 x^{3}}{6} & Умножи \end{aligned}

Както обикновено, имаме си работа с допустими и недопустими стойности. Когато извършваме деление на два рационални израза, частното е неопределено:

за всяка стойност, която прави всеки от първоначалните рационални изрази недефиниран,
[Защо?]
и за всяка стойност, за която делителят е равен на нула.
[Защо?]

За да обобщим, изразът, който е резултатът от

\frac{A}{B} : \frac{C}{D}

, е неопределен, когато или

B = 0

, или

C = 0

, или

D = 0

Нека разгледаме делимото и делителя в тази задача, за да определим дефиниционното множество.

Делимото $\frac{3 x^{4}}{4}$ ‍ е дефинирано за всички стойности на $x$ ‍.
Делителят $\frac{9 x}{10}$ ‍ е дефиниран за всички стойности на $x$ ‍ и е равен на нула при $x = 0$ ‍.

Следователно можем да заключим, че полученото частно е дефинирано при

x \neq 0

. Това е крайният ни отговор:

$\frac{5 x^{3}}{6}$ ‍ за $x \neq 0$ ‍

Провери знанията си

1) Раздели и опрости резултата.

\frac{3}{10 x^{2}} : \frac{6}{15 x^{5}} =

при

x \neq

[Имам нужда от помощ!]

Пример 2: $\frac{x^{2} + x - 6}{x^{2} + 3 x - 10} : \frac{x + 3}{x - 5}$ ‍

Както обикновено, умножаваме делимото по реципрочното на делителя. След това извършваме разлагане, съкращаваме общите множители и умножаваме числителите и знаменателите. Накрая определяме кои са недопустимите стойности.

\begin{aligned} \frac{x^{2} + x - 6}{x^{2} + 3 x - 10} : \frac{x + 3}{x - 5} \\ = \frac{x^{2} + x - 6}{x^{2} + 3 x - 10} \cdot \frac{x - 5}{x + 3} & Умножи по реципрочното \\ = \frac{(x + 3) (x - 2)}{(x + 5) (x - 2)} \cdot \frac{x - 5}{x + 3} & Извърши разлагане \\ = \frac{(x + 3) (x - 2)}{(x + 5) (x - 2)} \cdot \frac{(x - 5)}{x + 3} & Съкрати общите множители \\ = \frac{x - 5}{x + 5} & Умножи в числителя и в знаменателя \end{aligned}

Нека разгледаме делимото и делителя в тази задача, за да определим ограниченията на дефиниционното множество. Най-лесно е да използваме тези изрази в разложения им вид.

Делимото $\frac{(x + 3) (x - 2)}{(x + 5) (x - 2)}$ ‍ е дефинирано за всяко число, освен $x \neq - 5; 2$ ‍.
Делителят $\frac{x + 3}{x - 5}$ ‍ е дефиниран за всяко число, освен при $x \neq 5$ ‍ и е равен на нула при $x = - 3$ ‍.

Следователно можем да заключим, че полученото частно е дефинирано за всяко

x \neq - 5; - 3; 2; 5

Ето защо трябва да подчертаем, че

x \neq 5; 2; - 3

. Няма защо да подчертаваме, че

x \neq - 5

, тъй като това е ясно от израза. Крайният ни отговор е следният:

$\frac{x - 5}{x + 5}$ ‍ за $x \neq 5; 2; - 3$ ‍

Провери знанията си

2) Раздели и опрости произведението.

\frac{x - 7}{x^{2} - 4} : \frac{x^{2} - 6 x - 7}{2 x + 4} =

Какви са границите на дефиниционното множество на получения израз?

[Имам нужда от помощ!]

3) Раздели и опрости произведението.

\frac{x + 4}{x^{2} - 9} : \frac{x - 1}{x^{2} - 4 x + 3} =

Какви са границите на дефиниционното множество на получения израз?

[Имам нужда от помощ!]

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Вписване в профила

Сортирай по:

Все още няма публикации.

Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.

8. клас (България)

Курс: 8. клас (България) > Раздел 7

Какво трябва да знаеш, преди да започнеш този урок

Какво ще научиш в този урок

Деление на обикновени дроби

Пример 1: 3x44:9x10‍

Провери знанията си

Пример 2: x2+x−6x2+3x−10:x+3x−5‍

Провери знанията си

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Пример 1: $\frac{3 x^{4}}{4} : \frac{9 x}{10}$ ‍

Пример 2: $\frac{x^{2} + x - 6}{x^{2} + 3 x - 10} : \frac{x + 3}{x - 5}$ ‍