Основно съдържание

Курс: 8. клас (България) > Раздел 7

Урок 2: Основно свойство на рационалните дроби

Опростяване на рационални изрази

Научи какво означава да опростим рационален израз и как се прави това!

Какво трябва да знаеш, преди да започнеш този урок

Рационален израз е отношението на два цели израза (полинома). Дефиниционното множество на един рационален израз включва всички реални числа, с изключение на онези, за които знаменателят е равен на нула.

Например, дефиниционното множество на рационалния израз

\frac{x + 2}{x + 1}

включва всички реални числа с изключение на $-1$ ‍ или

x \neq - 1

Ако това е ново за теб, препоръчваме ти да разгледаш нашето въведение в рационалните изрази.

За този урок трябва също така да знаеш как да разлагаш полиноми.

Какво ще научиш в този урок

В този урок ще научим как да опростяваме рационални изрази, като разгледаме няколко примера.

Въведение

Един рационален израз се счита за опростен, ако числителят и знаменателят нямат общи множители.

Можем да опростяваме рационални изрази по същия начин, по който опростяваме числени дроби.

Например опростеният вариант на

\frac{6}{8}

\frac{3}{4}

. Обърни внимание как изключихме общия множител

2

от числителя и знаменателя:

\begin{aligned} \frac{6}{8} & = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 4} \\ = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 4} \\ = \frac{3}{4} \end{aligned}

Пример 1: Опростяване на $\frac{x^{2} + 3 x}{x^{2} + 5 x}$ ‍

Стъпка 1: Разложи числителя и знаменателя

Единственият начин да разбереш дали числителят и знаменателят имат общи множители, е да ги разложиш!

\frac{x^{2} + 3 x}{x^{2} + 5 x} = \frac{x (x + 3)}{x (x + 5)}

Стъпка 2: Посочи недопустимите стойности

На този етап е полезно да обърнем внимание на недопустимите стойности на

x

. Те ще важат и за опростения израз.

Тъй като делението на

0

е неопределено, тук виждаме, че

x \neq 0

x \neq - 5

\frac{x (x + 3)}{x (x + 5)}

Стъпка 3: Съкрати общите множители

Сега обърни внимание, че числителят и знаменателят имат общ множител

x

. Той може да се съкрати.

\begin{aligned} \frac{x (x + 3)}{x (x + 5)} & = \frac{x (x + 3)}{x (x + 5)} \\ = \frac{x + 3}{x + 5} \end{aligned}

Стъпка 4: Краен отговор

Спомни си, че за първоначалния израз недопустими стойности са

x \neq 0; - 5

. Опростеният израз трябва да има същите ограничения.

Ето защо трябва да обърнем внимание, че

x \neq 0

. Няма защо да отбелязваме, че

x \neq - 5

, тъй като това се подразбира от израза.

Първоначален израз:

\frac{x^{2} + 3 x}{x^{2} + 5 x} = \frac{x (x + 3)}{x (x + 5)}

Опростен израз:

\frac{x + 3}{x + 5}

Обърни внимание как при

x = - 5

и двата знаменателя са равни на

0

, следователно това не е допустима стойност за х. Обаче това зависи от всеки от изразите.

В обратния случай, ако не сме посочили, че

x \neq 0

за опростения израз, тогава

x = 0

ще е допустима входяща стойност, тъй като

\frac{0 + 3}{0 + 5} = \frac{3}{5}

Тъй като изразът би трябвало да е неопределен за

x = 0

(виж първоначалния израз), трябва да го изключим от дефиниционното множество.

В заключение можем да кажем, че изразът в опростен вид изглежда по следния начин:

\frac{x + 3}{x + 5}

за

x \neq 0

Забележка за еквивалентните изрази

Първоначален израз	Опростен израз
$\frac{x^{2} + 3 x}{x^{2} + 5 x}$ ‍	$\frac{x + 3}{x + 5}$ ‍ за $x \neq 0$ ‍

Двата израза по-горе са еквивалентни. Това означава, че числените стойности на изразите са едни и същи за всички възможни стойности на

x

. В таблицата по-долу това е показано за

x = 2

	Първоначален израз		Опростен израз
Пресмятане за $x = 2$ ‍	$\begin{aligned} \frac{(2)^{2} + 3 (2)}{(2)^{2} + 5 (2)} & = \frac{10}{14} \\ = \frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 7} \\ = \frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 7} \\ = \frac{5}{7} \end{aligned}$ ‍		$\begin{aligned} \frac{2 + 3}{2 + 5} & = \frac{5}{7} \end{aligned}$ ‍
Забележка	Резултат от опростяването със съкращаване на общия множител $2$ ‍.		Резултатът вече е максимално опростен, тъй като множителят, съдържащ $x$ ‍ (в този случай $x = 2$ ‍), вече беше съкратен при опростяването.

Поради тази причина двата израза имат еднаква стойност за един и същ аргумент. Обаче стойностите, които правят първоначалния израз неопределен, често не следват това правило. Забележи, че такъв е случаят с

x = 0

	Първоначален израз		Опростен израз (без ограничения)
Пресмятане за $x = 0$ ‍	$\begin{aligned} \frac{(0)^{2} + 3 (0)}{(0)^{2} + 5 (0)} & = \frac{0}{0} \\ = неопределен \end{aligned}$ ‍		$\begin{aligned} \frac{0 + 3}{0 + 5} & = \frac{3}{5} \end{aligned}$ ‍

Тъй като двата израза трябва да бъдат еквивалентни при всички възможни входящи стойности, трябва да подчертаем, че

x \neq 0

за опростения израз.

Внимавай да не се подведеш!

Обърни внимание, че не можем да изключим

x

-овете от израза по-долу. Това е така, защото те са по-скоро членове, отколкото множители на полиномите!

\frac{x + 3}{x + 5} \neq \frac{3}{5}

Това става ясно, когато разгледаме един пример. Например, да предположим, че

x = 2

\frac{2 + 3}{2 + 5} \neq \frac{3}{5}

По правило, можем да изключваме множители само ако числителят и знаменателят са в разложен вид!

Обобщение на процеса на опростяване

Стъпка 1: Разлагане на числителя и знаменателя.
Стъпка 2: Посочване на недопустимите стойности.
Стъпка 3: Съкращаване на общите множители.
Стъпка 4: Опростяване и отбелязване на всички недопустими стойности, които не се подразбират от израза.

Провери знанията си

Задача 1

Опрости израза $\frac{6 x + 20}{2 x + 10}$ ‍.

Задача 2

Опрости израза $\frac{x^{3} - 3 x^{2}}{4 x^{2} - 5 x}$ ‍.

при

x \neq

Пример 2: Опростяване на $\frac{x^{2} - 9}{x^{2} + 5 x + 6}$ ‍

Стъпка 1: Разложи числителя и знаменателя

\frac{x^{2} - 9}{x^{2} + 5 x + 6} = \frac{(x - 3) (x + 3)}{(x + 2) (x + 3)}

При разлагането на числителя можем да използваме формулата за разлика на квадрати:

a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)

Следователно:

\begin{aligned} x^{2} - 9 & = x^{2} - 3^{2} \\ = (x + 3) (x - 3) \end{aligned}

Можем да разложим знаменателя като използваме формулата за съкратено умножение.

(x + a) (x + b) = x^{2} + (a + b) x + a b

За да разложим

x^{2} + 5 x + 6

, можем да намерим две числа, чието произведение е

6

, а техният сбор е

5

. След като

2 \cdot 3 = 6

2 + 3 = 5

, полиномът се разлага на

(x + 2) (x + 3)

Стъпка 2: Посочи недопустимите стойности

Тъй като делението на

0

е неопределено, тук виждаме, че

x \neq - 2

x \neq - 3

\frac{(x - 3) (x + 3)}{(x + 2) (x + 3)}

Стъпка 3: Съкрати общите множители

Обърни внимание, че числителят и знаменателят имат общ множител

x + 3

. Той може да се съкрати.

\begin{aligned} \frac{(x - 3) (x + 3)}{(x + 2) (x + 3)} & = \frac{(x - 3) (x + 3)}{(x + 2) (x + 3)} \\ = \frac{x - 3}{x + 2} \end{aligned}

Стъпка 4: Краен отговор

Записваме опростения вид на израза по следния начин:

\frac{x - 3}{x + 2}

за

x \neq - 3

За първоначалния израз недопустимите стойности са

x \neq - 2; - 3

. Не се налага да отбелязваме, че

x \neq - 2

, след като това се подразбира от израза.

Провери знанията си

Задача 3

Опрости израза $\frac{x^{2} - 3 x + 2}{x^{2} - 1}$ ‍.

Задача 4

Опрости израза $\frac{x^{2} - 2 x - 15}{x^{2} + x - 6}$ ‍.

при

x \neq

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Вписване в профила

Сортирай по:

Все още няма публикации.

Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.

8. клас (България)

Курс: 8. клас (България) > Раздел 7

Какво трябва да знаеш, преди да започнеш този урок

Какво ще научиш в този урок

Въведение

Пример 1: Опростяване на x2+3xx2+5x‍

Забележка за еквивалентните изрази

Внимавай да не се подведеш!

Обобщение на процеса на опростяване

Провери знанията си

Пример 2: Опростяване на x2−9x2+5x+6‍

Провери знанията си

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Пример 1: Опростяване на $\frac{x^{2} + 3 x}{x^{2} + 5 x}$ ‍

Пример 2: Опростяване на $\frac{x^{2} - 9}{x^{2} + 5 x + 6}$ ‍