Основно съдържание

8. клас (България)

Курс: 8. клас (България) > Раздел 10

Урок 4: Решаване на квадратни уравнения чрез допълване до точен квадрат (за напреднали)

Решаване на квадратни уравнения чрез коренуване

Научи как да решаваш квадратни уравнения като x^2=36 или (x-2)^2=49.

Какво трябва да знаеш, преди да започнеш този урок

Какво ще научиш в този урок

Досега решавахме линейни уравнения, които включват свободни членове (обикновени числа) и членове с променливи, повдигнати на първа степен

(x^{1} = x)

Сега ще научиш как да решаваш квадратни уравнения, които включват членове, при които променливата е повдигната на втора степен,

x^{2}

Ето няколко примера за видовете квадратни уравнения, които ще се научиш да решаваш:

x^{2} = 36

(x - 2)^{2} = 49

[Защо това е квадратно уравнение?]

2 x^{2} + 3 = 131

Сега нека да пристъпим към работа.

Решаване на $x^{2} = 36$ ‍ и на подобни уравнения

Да предположим, че искаме да решим уравнението

x^{2} = 36

. Нека първо уточним какво се търси в уравнението. Търси се кое число, умножено по себе си, е равно на $36$ ‍.

Ако тази задача ти звучи познато, това е защото тя е определянето на квадратен корен от 36, което е изразено математически като

\sqrt{36}

Ето как изглежда пълното решение на уравнението:

\begin{aligned} x^{2} & = 36 \\ \sqrt{x^{2}} & = \sqrt{36} & Намери квадратния корен. \\ x & = \pm \sqrt{36} \\ x & = \pm 6 \end{aligned}

Нека прегледаме как стигнахме до това решение.

Какво означава знакът $\pm$ ‍

Обърни внимание, че всички положителни числа имат два квадратни корена: положителен квадратен корен и отрицателен квадратен корен. Например и

6

, и

- 6

, повдигнати на квадрат са равни на

36

. Следователно това уравнение има две решения.

\pm

е просто ефективен начин за представяне на тази идея математически. Например

\pm 6

означава "или

6

, или

- 6

Забележка за обратимите действия

Когато решавахме линейни уравнения, намирахме променливата, използвайки обратните действия: Ако към променливата е добавено

3

, изваждахме

3

от двете страни. Ако променливата е умножена по

4

, разделяхме двете страни на

4

Обратното действие на повдигането на квадрат е намирането на квадратния корен. Но за разлика от другите действия, когато намираме квадратния корен, трябва да не забравяме да намерим и двата, положителния и отрицателния квадратен корен.

Сега реши няколко подобни уравнения самостоятелно.

Задача 1

Реши $x^{2} = 16$ ‍.

x = \pm

Задача 2

Реши $x^{2} = 81$ ‍.

x = \pm

Задача 3

Реши $x^{2} = 5$ ‍.

Решаване на $(x - 2)^{2} = 49$ ‍ и на подобни уравнения

Ето как се решава уравнението

(x - 2)^{2} = 49

\begin{aligned} (x - 2)^{2} & = 49 \\ \sqrt{(x - 2)^{2}} & = \sqrt{49} & Намери корен квадратен. \\ x - 2 & = \pm 7 \\ x & = \pm 7 + 2 & Добави 2. \end{aligned}

Следователно решенията са $x = 9$ ‍ и $x = - 5$ ‍.

Нека прегледаме как стигнахме до това решение.

Намиране на стойността на $x$ ‍

Като използвахме обратното действие и намерихме корен квадратен, премахнахме знака за квадрат. Това беше важно, за да получим

x

от първа степен, и освен това трябваше да прибавим

2

в последната стъпка, за да намерим окончателно стойността на

x

Разбиране на решенията

Работата ни завърши с

x = \pm 7 + 2

. Как трябва да разбираме този израз? Не забравяй, че

\pm 7

означава "

+ 7

или

- 7

". Следователно ние трябва да разделим нашия отговор според двата случая: или

x = 7 + 2

или

x = - 7 + 2

Това ни дава двете решения

x = 9

x = - 5

[Докажи, че това наистина са решенията.]

Сега реши няколко подобни уравнения самостоятелно.

Задача 4

Реши $(x + 3)^{2} = 25$ ‍.

Задача 5

Реши $(2 x - 1)^{2} = 9$ ‍.

Задача 6

Реши $(x - 5)^{2} = 7$ ‍.

Защо не можем да разкрием скобите

Нека се върнем към нашето примерно уравнение

(x - 2)^{2} = 49

. Да предположим, че искаме да разкрием скобите. В крайна сметка, това е което правим при линейните уравнения, нали?

Разкриването на скобите води до следното уравнение:

x^{2} - 4 x + 4 = 49

Ако искаме да коренуваме това, трябва да намерим квадратния корен на израза

x^{2} - 4 x + 4

, но не е ясно дали

\sqrt{x^{2} - 4 x + 4}

може да се преработи като хубав израз.

За разлика от това намирането на корен квадратен на изрази като

x^{2}

или

(x - 2)^{2}

ни дава хубави изрази като

x

или

(x - 2)

Следователно действително е полезно в квадратните уравнения да оставим нещата разложени, защото това ни позволява да намерим квадратния корен.

Решаване на $2 x^{2} + 3 = 131$ ‍ и на подобни уравнения

Не всички квадратни уравнения се решават непосредствено с намирането на квадратния корен. Понякога трябва да отделим члена, повдигнат на квадрат, преди да намерим корена му.

Например, за да решим уравнението

2 x^{2} + 3 = 131

, трябва първо да отделим

x^{2}

от едната страна. Това става по същия начин, както отделяме от едната страна члена

x

в линейно уравнение.

\begin{aligned} 2 x^{2} + 3 & = 131 \\ 2 x^{2} & = 128 & Извади 3. \\ x^{2} & = 64 & Раздели на 2. \\ \sqrt{x^{2}} & = \sqrt{64} & Намери корен квадратен. \\ x & = \pm 8 \end{aligned}

Сега реши няколко подобни уравнения самостоятелно.

Задача 7

Реши $3 x^{2} - 7 = 5$ ‍.

Задача 8

Реши $4 (x - 1)^{2} + 2 = 38$ ‍.

Задача с повишена трудност

Реши $x^{2} + 8 x + 16 = 9$ ‍.

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Вписване в профила

Сортирай по:

Все още няма публикации.

Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.

8. клас (България)

Курс: 8. клас (България) > Раздел 10

Какво трябва да знаеш, преди да започнеш този урок

Какво ще научиш в този урок

Решаване на x2=36‍ и на подобни уравнения

Какво означава знакът ±‍

Забележка за обратимите действия

Решаване на (x−2)2=49‍ и на подобни уравнения

Намиране на стойността на x‍

Разбиране на решенията

Защо не можем да разкрием скобите

Решаване на 2x2+3=131‍ и на подобни уравнения

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Решаване на $x^{2} = 36$ ‍ и на подобни уравнения

Какво означава знакът $\pm$ ‍

Решаване на $(x - 2)^{2} = 49$ ‍ и на подобни уравнения

Намиране на стойността на $x$ ‍

Решаване на $2 x^{2} + 3 = 131$ ‍ и на подобни уравнения