If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ако си зад уеб филтър, моля, увери се, че домейните *. kastatic.org и *. kasandbox.org са разрешени.

Основно съдържание

8. клас (България)

Курс: 8. клас (България) > Раздел 10

Урок 4: Решаване на квадратни уравнения чрез допълване до точен квадрат (за напреднали)
Математика
8. клас (България)
За напреднали
Решаване на квадратни уравнения чрез допълване до точен квадрат (за напреднали)
© 2023 Khan AcademyУсловия за ползванеДекларация за поверителностПолитика за Бисквитки

Решаване на квадратни уравнения чрез коренуване

Класна стая на Google
Научи как да решаваш квадратни уравнения като x^2=36 или (x-2)^2=49.

Какво трябва да знаеш, преди да започнеш този урок

Какво ще научиш в този урок

Досега решавахме линейни уравнения, които включват свободни членове (обикновени числа) и членове с променливи, повдигнати на първа степен left parenthesis, x, start superscript, 1, end superscript, equals, x, right parenthesis.
Сега ще научиш как да решаваш квадратни уравнения, които включват членове, при които променливата е повдигната на втора степен, x, squared.
Ето няколко примера за видовете квадратни уравнения, които ще се научиш да решаваш:
x, squared, equals, 36
left parenthesis, x, minus, 2, right parenthesis, squared, equals, 49
2, x, squared, plus, 3, equals, 131
Сега нека да пристъпим към работа.

Решаване на x, squared, equals, 36 и на подобни уравнения

Да предположим, че искаме да решим уравнението x, squared, equals, 36. Нека първо уточним какво се търси в уравнението. Търси се кое число, умножено по себе си, е равно на 36.
Ако тази задача ти звучи познато, това е защото тя е определянето на квадратен корен от 36, което е изразено математически като square root of, 36, end square root.
Ето как изглежда пълното решение на уравнението:
x2=36x2=36Намери квадратния корен.x=±36x=±6\begin{aligned}x^2&=36\\\\ \sqrt{x^2}&=\sqrt{36}&&\text{Намери квадратния корен.}\\\\ x&=\pm\sqrt{36}\\\\ x&=\pm 6\end{aligned}
Нека прегледаме как стигнахме до това решение.

Какво означава знакът plus minus

Обърни внимание, че всички положителни числа имат два квадратни корена: положителен квадратен корен и отрицателен квадратен корен. Например и 6, и minus, 6, повдигнати на квадрат са равни на 36. Следователно това уравнение има две решения.
plus minus е просто ефективен начин за представяне на тази идея математически. Например plus minus, 6 означава "или 6, или minus, 6".

Забележка за обратимите действия

Когато решавахме линейни уравнения, намирахме променливата, използвайки обратните действия: Ако към променливата е добавено 3, изваждахме 3 от двете страни. Ако променливата е умножена по 4, разделяхме двете страни на 4.
Обратното действие на повдигането на квадрат е намирането на квадратния корен. Но за разлика от другите действия, когато намираме квадратния корен, трябва да не забравяме да намерим и двата, положителния и отрицателния квадратен корен.
Сега реши няколко подобни уравнения самостоятелно.
Задача 1
Реши x, squared, equals, 16.
x, equals, plus minus
  • Отговорът ти трябва да бъде
  • цяло число, като 6
  • несъкратима правилна дроб, като 3, slash, 5
  • несъкратима неправилна дроб, като 7, slash, 4
  • смесено число като 1, space, 3, slash, 4
  • точна десетична дроб като 0, point, 75
  • кратно на ПИ като 12, space, start text, p, i, end text или 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Задача 2
Реши x, squared, equals, 81.
x, equals, plus minus
  • Отговорът ти трябва да бъде
  • цяло число, като 6
  • несъкратима правилна дроб, като 3, slash, 5
  • несъкратима неправилна дроб, като 7, slash, 4
  • смесено число като 1, space, 3, slash, 4
  • точна десетична дроб като 0, point, 75
  • кратно на ПИ като 12, space, start text, p, i, end text или 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Задача 3
Реши x, squared, equals, 5.
Избери един отговор:

Решаване на left parenthesis, x, minus, 2, right parenthesis, squared, equals, 49 и на подобни уравнения

Ето как се решава уравнението left parenthesis, x, minus, 2, right parenthesis, squared, equals, 49:
(x−2)2=49(x−2)2=49Намери корен квадратен.x−2=±7x=±7+2Добави 2.\begin{aligned}(x-2)^2&=49\\\\ \sqrt{(x-2)^2}&=\sqrt{49}&&\text{Намери корен квадратен.}\\\\ x-2&=\pm 7\\\\ x&=\pm 7+2&&\text{Добави 2.}\end{aligned}
Следователно решенията са x, equals, 9 и x, equals, minus, 5.
Нека прегледаме как стигнахме до това решение.

Намиране на стойността на x

Като използвахме обратното действие и намерихме корен квадратен, премахнахме знака за квадрат. Това беше важно, за да получим x от първа степен, и освен това трябваше да прибавим 2 в последната стъпка, за да намерим окончателно стойността на x.

Разбиране на решенията

Работата ни завърши с x, equals, plus minus, 7, plus, 2. Как трябва да разбираме този израз? Не забравяй, че plus minus, 7 означава "plus, 7 или minus, 7". Следователно ние трябва да разделим нашия отговор според двата случая: или x, equals, 7, plus, 2 или x, equals, minus, 7, plus, 2.
Това ни дава двете решения x, equals, 9 и x, equals, minus, 5.
Сега реши няколко подобни уравнения самостоятелно.
Задача 4
Реши left parenthesis, x, plus, 3, right parenthesis, squared, equals, 25.
Избери един отговор:

Задача 5
Реши left parenthesis, 2, x, minus, 1, right parenthesis, squared, equals, 9.
Избери един отговор:

Задача 6
Реши left parenthesis, x, minus, 5, right parenthesis, squared, equals, 7.
Избери един отговор:

Защо не можем да разкрием скобите

Нека се върнем към нашето примерно уравнение left parenthesis, x, minus, 2, right parenthesis, squared, equals, 49. Да предположим, че искаме да разкрием скобите. В крайна сметка, това е което правим при линейните уравнения, нали?
Разкриването на скобите води до следното уравнение:
x, squared, minus, 4, x, plus, 4, equals, 49
Ако искаме да коренуваме това, трябва да намерим квадратния корен на израза x, squared, minus, 4, x, plus, 4, но не е ясно дали square root of, x, squared, minus, 4, x, plus, 4, end square root може да се преработи като хубав израз.
За разлика от това намирането на корен квадратен на изрази като x, squared или left parenthesis, x, minus, 2, right parenthesis, squared ни дава хубави изрази като x или left parenthesis, x, minus, 2, right parenthesis.
Следователно действително е полезно в квадратните уравнения да оставим нещата разложени, защото това ни позволява да намерим квадратния корен.

Решаване на 2, x, squared, plus, 3, equals, 131 и на подобни уравнения

Не всички квадратни уравнения се решават непосредствено с намирането на квадратния корен. Понякога трябва да отделим члена, повдигнат на квадрат, преди да намерим корена му.
Например, за да решим уравнението 2, x, squared, plus, 3, equals, 131, трябва първо да отделим x, squared от едната страна. Това става по същия начин, както отделяме от едната страна члена x в линейно уравнение.
2x2+3=1312x2=128Извади 3.x2=64Раздели на 2.x2=64Намери корен квадратен.x=±8\begin{aligned}2x^2+3&=131\\\\ 2x^2&=128&&\text{Извади 3.}\\\\ x^2&=64&&\text{Раздели на 2.}\\\\ \sqrt{x^2}&=\sqrt{64}&&\text{Намери корен квадратен.}\\\\ x&=\pm 8\end{aligned}
Сега реши няколко подобни уравнения самостоятелно.
Задача 7
Реши 3, x, squared, minus, 7, equals, 5.
Избери един отговор:

Задача 8
Реши 4, left parenthesis, x, minus, 1, right parenthesis, squared, plus, 2, equals, 38.
Избери един отговор:

Задача с повишена трудност
Реши x, squared, plus, 8, x, plus, 16, equals, 9.
Избери един отговор:

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Вписване в профила
Все още няма публикации.
Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.