Множество от стойностите на квадратни функции

В тази статия ще научиш как да намираш множеството от стойностите на квадратни функции.

С други думи ще научим как да определяме множеството от всички възможни стойности на дадена квадратна функция.

Искаме да намерим множеството от стойностите на функцията $f(x)=-2(x+3)^2+7$f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, minus, 2, left parenthesis, x, plus, 3, right parenthesis, squared, plus, 7.

Намирането на множеството от стойностите на една функция, гледайки само формулата ѝ, е доста трудно! В действителност дори не е толкова лесно да кажем дали определена единична стойност е възможна изходяща стойност на функцията!

Например $y=9$y, equals, 9 възможна стойност на функция $f$f ли е?

За да отговорим на този въпрос, трябва да заместим с формулата на $f$f в $f(x)=9$f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 9 и да го намерим. Ако намерим решение, тогава $y=9$y, equals, 9 е възможна изходяща стойност на функцията. В противен случай, не е.

Не е възможно обаче да направим тази проверка за всяка възможна изходяща стойност, защото те са безкраен брой! Тази статия ще ти покаже два възможни метода за да решаване на тази задача.

Оказва се, че графиките са наистина доста полезни при изучаването на множеството от стойностите на дадена функция. За щастие имаме доста добри умения за чертането на квадратни функции.

Ето графиката на $y=f(x)$y, equals, f, left parenthesis, x, right parenthesis.

Сега е ясно видимо, че $y=9$y, equals, 9 не е възможна стойност на функцията, тъй като графиката не пресича никъде правата $y=9$y, equals, 9.

Нека направим подобна проверка за още няколко стойности на $y$y.

Видяхме как можем да проверим дали дадена стойност е възможна изходяща стойност на функцията, като използваме графика. Една графика всъщност може да ни покаже всички възможни стойности на функцията!

Например графиката на $y=f(x)$y, equals, f, left parenthesis, x, right parenthesis показва, че $7$7 (координатата $y$y на върха) е максималната стойност $y$y, която може да ни даде функцията. Освен това тъй като параболата е отворена надолу, всяка стойност на $y$y под $7$7 е също възможна стойност на функцията.

С други думи множеството от стойностите на $f$f са всички стойности на $y$y, които са по-малки или равни на $7$7. Това е всичко! Математически можем да напишем множеството от стойности на $f$f като ${\{} y\in \mathbb{R} ~|~ y\leq 7 {\}}$left brace, y, \in, R, space, vertical bar, space, y, is less than or equal to, 7, right brace.

Разгледай функцията $g(x)=(x-4)^2-5$g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, minus, 4, right parenthesis, squared, minus, 5, която е начертана по-долу.

Сега може би си задаваш въпроса: "Винаги ли трябва да чертая графиката, когато искам да намеря множеството от стойности на дадена функция?". Имаш основание да зададеш този въпрос! Мързелът е чудесна мотивация за намирането на по-добри начини за решаване на задачи.

Нека помислим върху нещата, които решихме по-горе, и потърсим някакъв модел.

Оказва се, че всичко което трябва да знаем, за да определим множеството от стойностите на дадена квадратна функция, е стойността $y$y на върха на графиката ѝ и дали тя е отворена нагоре или надолу.

Това е лесно да се намери за квадратна функция, представена чрез уравнение във вид с отделен точен квадрат ("параболичен" вид), $y = \purpleC{a}(x-h)^2 + \blueD{k}$y, equals, start color #aa87ff, a, end color #aa87ff, left parenthesis, x, minus, h, right parenthesis, squared, plus, start color #11accd, k, end color #11accd. В този вид върхът е при $y=\blueD{k}$y, equals, start color #11accd, k, end color #11accd, а параболата се отваря $\purpleC{\text{нагоре}}$start color #aa87ff, start text, н, а, г, о, р, е, end text, end color #aa87ff, когато $\purple{a}>0$start color #9d38bd, a, end color #9d38bd, is greater than, 0 и $\purpleC{\text{надолу}}$start color #aa87ff, start text, н, а, д, о, л, у, end text, end color #aa87ff, когато $\purpleC{a}<0$start color #aa87ff, a, end color #aa87ff, is less than, 0.