If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ако си зад уеб филтър, моля, увери се, че домейните *. kastatic.org и *. kasandbox.org са разрешени.

Основно съдържание

9. клас (България)

Курс: 9. клас (България) > Раздел 3

Урок 5: Графика на квадратната функция: Въведение

Множество от стойностите на квадратни функции

Научи как да намериш множеството от стойностите на всяка квадратна функция от нейната формула, която използва върха на параболата.
В тази статия ще научиш как да намираш множеството от стойностите на квадратни функции.
С други думи ще научим как да определяме множеството от всички възможни стойности на дадена квадратна функция.

Нека разгледаме една примерна задача

Искаме да намерим множеството от стойностите на функцията f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, minus, 2, left parenthesis, x, plus, 3, right parenthesis, squared, plus, 7.
В тази статия, също както сме свикнали да означаваме аргументите на дадена функция с буквата x, ще означаваме стойностите на функцията с буквата y. Например y, equals, 7 е стойността на f за аргумент x, equals, minus, 3 (това е просто друг начин да кажем f, left parenthesis, minus, 3, right parenthesis, equals, 7).
Намирането на множеството от стойностите на една функция, гледайки само формулата ѝ, е доста трудно! В действителност дори не е толкова лесно да кажем дали определена единична стойност е възможна изходяща стойност на функцията!
Например y, equals, 9 възможна стойност на функция f ли е?
За да отговорим на този въпрос, трябва да заместим с формулата на f в f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 9 и да го намерим. Ако намерим решение, тогава y, equals, 9 е възможна изходяща стойност на функцията. В противен случай, не е.
Не е възможно обаче да направим тази проверка за всяка възможна изходяща стойност, защото те са безкраен брой! Тази статия ще ти покаже два възможни метода за да решаване на тази задача.

Метод за решение 1: Графичен подход

Оказва се, че графиките са наистина доста полезни при изучаването на множеството от стойностите на дадена функция. За щастие имаме доста добри умения за чертането на квадратни функции.
Ето графиката на y, equals, f, left parenthesis, x, right parenthesis.
Сега е ясно видимо, че y, equals, 9 не е възможна стойност на функцията, тъй като графиката не пресича никъде правата y, equals, 9.
Нека направим подобна проверка за още няколко стойности на y.
Въпрос 1Въпрос 2
y, equals, minus, 5 възможна изходяща стойност ли е на функция f?
Избери един отговор:

y, equals, minus, 50 възможна изходяща стойност ли е на функция f?
Избери един отговор:

Видяхме как можем да проверим дали дадена стойност е възможна изходяща стойност на функцията, като използваме графика. Една графика всъщност може да ни покаже всички възможни стойности на функцията!
Например графиката на y, equals, f, left parenthesis, x, right parenthesis показва, че 7 (координатата y на върха) е максималната стойност y, която може да ни даде функцията. Освен това тъй като параболата е отворена надолу, всяка стойност на y под 7 е също възможна стойност на функцията.
С други думи множеството от стойностите на f са всички стойности на y, които са по-малки или равни на 7. Това е всичко! Математически можем да напишем множеството от стойности на f като left brace, y, \in, R, space, vertical bar, space, y, is less than or equal to, 7, right brace.

Твой ред е!

Разгледай функцията g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, minus, 4, right parenthesis, squared, minus, 5, която е начертана по-долу.
Какво е множеството от стойностите на функцията g ?
Избери един отговор:

Метод за решение 2: Алгебричен подход

Сега може би си задаваш въпроса: "Винаги ли трябва да чертая графиката, когато искам да намеря множеството от стойности на дадена функция?". Имаш основание да зададеш този въпрос! Мързелът е чудесна мотивация за намирането на по-добри начини за решаване на задачи.
Нека помислим върху нещата, които решихме по-горе, и потърсим някакъв модел.
Графиката на първата функция f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, minus, 2, left parenthesis, x, plus, 3, right parenthesis, squared, plus, 7 е отворена start color #aa87ff, start text, н, а, д, о, л, у, end text, end color #aa87ff парабола, чийто връх е при y, equals, start color #11accd, 7, end color #11accd. Вследствие на това множеството на стойностите и включва всички стойности на y, които са start color #aa87ff, start text, п, о, negative, м, а, л, к, и, end text, end color #aa87ff или равни на start color #11accd, 7, end color #11accd.
Графиката на втората функция g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, minus, 4, right parenthesis, squared, minus, 5 е отворена start color #aa87ff, start text, н, а, г, о, р, е, end text, end color #aa87ff парабола, чийто връх е при y, equals, start color #11accd, minus, 5, end color #11accd. Вследствие на това множеството от стойностите ѝ включва всички стойности на y, които са start color #aa87ff, start text, п, о, negative, г, о, л, е, м, и, end text, end color #aa87ff или равни на start color #11accd, minus, 5, end color #11accd.
Оказва се, че всичко което трябва да знаем, за да определим множеството от стойностите на дадена квадратна функция, е стойността y на върха на графиката ѝ и дали тя е отворена нагоре или надолу.
Това е лесно да се намери за квадратна функция, представена чрез уравнение във вид с отделен точен квадрат ("параболичен" вид), y, equals, start color #aa87ff, a, end color #aa87ff, left parenthesis, x, minus, h, right parenthesis, squared, plus, start color #11accd, k, end color #11accd. В този вид върхът е при y, equals, start color #11accd, k, end color #11accd, а параболата се отваря start color #aa87ff, start text, н, а, г, о, р, е, end text, end color #aa87ff, когато start color #9d38bd, a, end color #9d38bd, is greater than, 0 и start color #aa87ff, start text, н, а, д, о, л, у, end text, end color #aa87ff, когато start color #aa87ff, a, end color #aa87ff, is less than, 0.

Твой ред е

Използвай наученото, за да намериш множеството от стойностите на h, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, left parenthesis, x, minus, 3, right parenthesis, squared, plus, 2.
left brace, y, \in, R, vertical bar
right brace

Искаш ли да се присъединиш към разговора?

Все още няма публикации.
Разбираш ли английски? Натисни тук, за да видиш още дискусии в английския сайт на Кан Академия.