Дефиниционно множество и множество стойности на квадратна функция

"Определи дефиниционното множество и функционалното множество на функцията f(х) = 3х^2 + 6х – 2." Дефиниционното множество на функцията е: какво е множеството на всички валидни входящи стойности или всички валидни стойности на х за тази функция? И мога да взема всяко реално число, да го повдигна на квадрат, да го умножа по 3, после да добавя 6 пъти това реално число и после да извадя 2 от него. Всяко число, ако говорим за реални числа, когато говорим за произволно число. Дефиниционното множество, множеството на валидните входящи стойности, множеството на входящите стойности, за които функцията е зададена, е всички реални числа. Дефиниционното множество тук е всички реални числа. Може би се чудиш не са ли всички числа реални. Може да знаеш, а може и да не знаеш, че има клас числа, които са малко странни, когато ги видиш за пръв път, наречени имагинерни числа и комплексни числа. Но няма да навлизам в това сега. Повечето традиционни числа, за които знаеш, са част от множеството на реалните числа. Там влизат почти всички, освен комплексните числа. Ако вземеш което и да е реално число и го поставиш тук, можеш да го повдигнеш на квадрат, да го умножиш по 2, да добавиш 6 пъти това число и да извадиш 2. Функционалното множество, поне както аз мисля за него в тази серия видеа – функционалното множество е множеството на възможните изходящи стойности на тази функция. Или ако кажем, че у = f(х) на графика, това е множество от всички възможни стойности на у. За да осъзнаем това, ще опитам да начертая графика на тази функция тук. И ако познаваш квадратните – такава е тази функция, квадратна – може вече да знаеш, че има форма на парабола. И видът ѝ може да изглежда ето така. Тя е с отвор нагоре. Но други параболи имат подобни форми. И виждаш, когато една парабола има такава форма, тя няма да приеме стойности под върха си, когато е отворена нагоре, и няма да приеме стойности над върха си, когато е отворена надолу. Да видим дали можем да начертаем това и да открием върха. Има начини за точно изчисляване на върха, но нека видим как можем да помислим за тази задача. Ще изпробвам някои стойности на х и у. Има и други начини директно да се изчисли върха. Формулата за него е –b/2а. Произлиза директно от формулата за намиране на решения на квадратно уравнение, която получаваш при допълване на квадрата. Нека изпробваме някои стойности на х и да видим на колко е равна f(х). Това са стойностите, които сме изпробвали в последните две видеа. Какво се случва, когато х = –2? Тогава f(х) е 3 по (–2)^2, което е 4, плюс 6*(–2), което е –12, минус 2. Това е 12 – 12 – 2. Това е равно на –2. Какво се случва, когато х = –1? Това ще е 3 по (–1)^2, което е просто 1, минус, или трябва да кажа плюс, 6*(–1), което е –6, и после минус 2. Това е 3 – 6 е –3, минус 2 е равно на 5 и това всъщност е върхът. Знаеш формулата за върха, пак я повтарям, тя е –b/2a. –b. Това е коефициентът на този член тук. Това е –6/2 по това тук, 2*3. 2*3 и всичко това е равно на –1. Това е върхът, но нека продължим. Какво се случва, когато х = 0? Първите два члена са 0 и ти остава само –2. Когато х = +1... Тук можеш да видиш, че това е върхът и започваш да виждаш симетрията. Ако преминеш с 1 над върха, f(х) = –2. Ако преминеш с една стойност на х под върха или под стойността х на върха, f(х) отново е равно на –2. Но нека продължим. Нека направим още една точка тук. х = 1. Когато х = 1 имаш 3 по 1^2, което е просто 1. 3*1 плюс 6*1, което е 6, минус 2. Това е 9 – 2 и е равно на 7. И мисля, че това са достатъчно точки, за да ни дадат представа как ще изглежда тази графика. Как ще изглежда графиката на функцията. Ще изглежда като това. Ще я начертая колкото мога по-добре. Това е х = –2. Чертаем цялата ос. Това е х = –1, това е х = 0 и това е х = 1. После когато х е равно на... преминаваме от –2 чак до положителната част. Или трябва да преминем от –5 чак до +7. Нека кажем, че това са отрицателните 1, 2, 3, 4, 5. Това тук на оста у е –5, а после ще преминем до +7. 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Мога да продължа, това е в посока у и ще поставим у да е равно на изходящата стойност на функцията. у = f(х). И това тук е 1. Нека поставим точките. Имаш точката (–2; –2). Когато х е –2, това е оста х. Когато х е –2, у е –2. у е –2, а това е точно след 3. Това е точката (–2; –2). Добре. После имаме тази точка, която е в лилав цвят. Когато х е –1, f(х) е –5. Когато х е –1, f(х) е –5. И вече казахме, че това е върхът. След малко ще видиш симетрията около него. Това е точката (–1; –5). И после точката (0; –2). Когато х е 0, у е –2 за f(х) = –2 или f(0) = –2, така че това е точката (0; –2). И после, накрая, когато х е 1, f(1) е 7. Това тук е точката (1; 7) и тя ни дава представа как ще изглежда тази парабола, тази крива. Ще я начертая колкото мога по-добре. Ще изглежда като това. И ще продължава в тази посока. Ще продължава в тази посока. Но мисля, че виждаш симетрията около върха. И ако трябва... Ако трябва да поставиш права ето тук, двете страни са един вид огледалните изображения една на друга. Можеш да ги преобърнеш и това е начинът, по който разбираме, че това е върхът. И така също разбираме, понеже това е отворена нагоре парабола. Има формули за върха и има множество начини за неговото изчисляване. Но след като това е парабола с отвор нагоре, тогава върхът ще е минималната точка. Това е минималната стойност, която параболата ще приеме. И да се върнем обратно на първоначалния въпрос, който е да опитаме да намерим функционалното множество, множеството на стойностите на у, множеството на изходящите стойности, които тази функция може да генерира. Виждаш, че функцията може да слезе чак до –5. Слиза чак до –5 при върха. Но докато отиваш надясно, докато стойностите на х се увеличават надясно или намаляват наляво, параболата тръгва нагоре. Така че параболата не може да ти даде стойности – f(х) никога няма да е по-малко от –5. Но дефиниционното ни множество може да приеме всички стойности. Може да продължи да се увеличава вечно, докато х става по-голямо или по-малко и се отдалечава от върха. Фунционалното ни множество – вече казахме, че дефиниционното ни множество е всички реални числа. Функционалното ни множество, възможните стойности на у, са всички реални числа, по-големи от или равни на –5. Може да приеме стойността на всяко реално число, което е по-голямо от или равно на –5. Нищо по-малко от –5.