Специални правоъгълни триъгълници - доказване (част 2)

В последното видео показахме, че отношението на страните в триъгълник 30-60-90 са... ако приемем, че най-дългата страна е х, хипотенузата е х, най-късата страна е х/2 и страната между тях, страната, която е противоположна на 60 градуса, е корен квадратен от (3х/2). Друг начин да мислим за това е, ако най-късата страна е едно и аз ще направя най-късата страна, след това средната страна, след това най-дългата страна. Ако страната срещу 30 градуса е 1, тогава страната срещу ъгъла от 60 градуса е корен квадратен от три по това. Тя е корен квадратен от три и след това хипотенузата ще бъде два пъти това. В последното видео започнахме с х и казахме, че страната срещу ъгъла от 30 градуса е х върху 2, но ако тя е 1, тогава това ще се удвои и ще бъде 2. Това ето тук е страната срещу 30 градуса, това е страната срещу 60 градуса и това е хипотенузата, страната срещу 90 градуса. И така, ако видиш триъгълник, който има тези отношения, можеш да кажеш: Хей, това е триъгълник 30-60-90. Или ако видиш триъгълник, за който знаеш, че е триъгълник 30-60-90, можеш да кажеш: Хей, знам как да намеря една от страните въз основа на това отношение ето тук. И само като пример: Ако видиш триъгълник, който изглежда по този начин, където страните са 2, 2 по корен квадратен от 3 и 4. Още веднъж, отношението 2 към 2 по корен квадратен от 3 е 1 към корен квадратен от 3. Отношението 2:4 е същото нещо като 1:2, значи това тук трябва да бъде триъгълник 30-60-90. В това видео искам да покажа друг важен тип триъгълник, който се появява доста често в геометрията и доста в тригонометрията. И това е триъгълник 45-45-90. Или друг начин да мислиш за това е, ако имам правоъгълен триъгълник, който е също и равнобедрен. Правоъгълен триъгълник, който също е и равнобедрен. Очевидно не можеш да имаш правоъгълен триъгълник, който е равностранен, защото в равностранния триъгълник всички ъгли трябва да бъдат 60 градуса. Но можеш да имаш правоъгълен триъгълник, който е равнобедрен. Равнобедреният триъгълник – нека напиша това, това е правоъгълен равнобедрен, рав-но-бед-рен триъгълник. И ако той е равнобедрен, това означава, че 2 от страните са равни. Това са двете страни, които са равни. И след това, ако две от страните са равни, ние доказахме, че ъглите при основата са равни. Ако наречем мярката на тези ъгли при основата х, сега знаем, че х + х + 90 трябва да бъде равно на 180. х + х + 90 трябва да бъде равно на 180. Ако извадим 90 от двете страни, получаваме х + х = 90. Или 2х = 90 и ако разделиш двете страни на 2, получаваш х = 45 градуса. Така че правоъгълният равнобедрен триъгълник може също да бъде наречен, и това е най-типичното име за него, той може да бъде наречен също триъгълник 45-45-90. Искам в това видео да намеря отношенията на страните в триъгълник 45-45-90, точно както направихме за триъгълник 30-60-90. И този е всъщност много по-лесен. Защото в триъгълника 45-45-90, ако наречем едно от бедрата х, другото бедро също ще бъде х. И след това можем да използваме питагоровата теорема, за да намерим дължината на хипотенузата. Нека наречем дължината на хипотенузата 'с'. Получаваме х^2 + х^2, това са квадратите на двете бедра. Когато ги съберем, това трябва да бъде равно на с^2. Това се получава точно от питагоровата теорема. Така че получаваме 2х^2 = с^2. Можем да коренуваме двете страни. Искам да го сменя с жълто, а това не ми позволява... добре. Сега нека коренуваме двете страни на това. Корен квадратен от двете страни. В лявата страна получаваме... корен от 2 е просто корен квадратен от 2. Квадратен корен от х^2 ще бъде просто х. Така че ще имаме х по корен квадратен от 2 е равно на с. Така че за правоъгълен равнобедрен триъгълник, независимо колко са двете бедра – те ще имат еднаква дължина, защото той е равнобедрен – хипотенузата е корен квадратен от 2 по това. Така че с е равно на х по корен квадратен от 2. Така например, ако имаш триъгълник, който изглежда така. Нека го начертая по малко по-различен начин. Добре е да се ориентираме по различни начини всеки път. Така че, ако виждаме триъгълник, който е 90 градуса, 45 и 45 като този. И ти наистина просто трябва да знаеш два от тези ъгли, за да намериш колко ще бъде другия. И ако ти кажа, че тази страна тук е 3. Всъщност, дори не трябва да ти казвам, че тази друга страна ще бъде 3. Това е равнобедрен триъгълник, така че двете бедра ще бъдат равни. И ти дори не трябва да прилагаш питагоровата теорема, ако знаеш това. А това е добре да се знае – че хипотенузата тук, страната срещу ъгъла от 90 градуса, просто е корен квадратен от 2 по дължината на което и да е от бедрата. Така че това ще бъде 3 по корен квадратен от 2. И така, отношението на страните и хипотенузата в триъгълник 45-45-90 или правоъгълен равнобедрен триъгълник. Отношението на страните е: едно от бедрата може да бъде 1, след това другото бедро ще бъде със същата дължина. И после хипотенузата ще бъде корен квадратен от 2 по едно от тези. Едно към едно към корен квадратен от две. И така, това е триъгълник 45-45-90, нека го напиша, това е триъгълник 45-45-90. Това са отношенията. И само като преговор, ако имаш триъгълник 30-60-90, отношенията са едно към корен квадратен от три към две. И сега ще прилагаме това в редица задачи.