Въведение в питагоровата теорема - 2

Ще разгледаме една от най-известните теореми в математиката. Това е теоремата на Питагор. Тя се използва при правоъгълен триъгълник. Правоъгълният триъгълник винаги има ъгъл с големина 90 градуса. Точно както го начертах тук, това е нашият ъгъл с големина 90 градуса. Ако за пръв път виждаш 90-градусов ъгъл, си представи една хоризонтална страна и една вертикална. Тези страни са перпендикулярни, значи ъгълът между тях е 90 градуса, това е прав ъгъл. Питагоровата теорема важи за всеки правоъгълен триъгълник. Нека запиша това – това е правоъгълен триъгълник. Това е триъгълник, който има прав ъгъл, тоест 90-градусов ъгъл. Теоремата ни дава зависимост между страните му. Обозначавам страните с а, b и c. Тук страната с е тази, която е срещу ъгъла от 90 градуса. Важно е да следиш коя страна коя е. Питагоровата теорема гласи, че ако и само ако този триъгълник е правоъгълен и има страни а, b и с, тогава е вярно, че а^2 + b^2 = c^2. Как да използваме това? Ако знаем 2 от страните на този триъгълник, тази формула ни помага да намерим третата страна. Сега ще въведа още един термин. Най-дългата страна на правоъгълния триъгълник, която се намира срещу ъгъла от 90 градуса и в нашия пример е обозначена като с. Тя се нарича хипотенуза. Това е сложна дума, но с просто значение. Най-дългата страна на правоъгълен триъгълник, която е винаги срещу ъгъла от 90 градуса, се нарича хипотенуза. След като вече научихме питагоровата теорема, нека да я приложим. Винаги е по-забавно, когато използваме вече наученото. Да кажем, че имам следния правоъгълен триъгълник. Нека го начертая малко по-надолу. Това е правоъгълен триъгълник. Тази страна е с дължина 9. А тази страна тук е с дължина 7. Въпросът ми е: Колко е дълга третата страна? Ще я обозначим с с. Тук с е хипотенузата. Тя е най-дългата страна. Вече знаем, че сборът от квадратите на двете страни е равен на хипотенузата на квадрат. Според питагоровата теорема 9 на квадрат плюс 7 на квадрат е равно на с на квадрат. 9 на квадрат е 81, 7 на квадрат е 49. 80 плюс 40 е 120 Имаме още 1 и още 9, това прави още 10. Цялото е равно на 130. Ще го напиша така: Отляво на уравнението имаме 130, а отдясно имаме с на квадрат. На колко е равно с? Ще преобразувам уравнението. с на квадрат е 130, значи с е равно на корен квадратен от 130. Не забравяй, че стойността на с трябва да е положителна. Тя отговаря на разстояние, значи не може да бъде отрицателно число. Взимам положителния корен от 130. За да опростим израза, да разложим на множители. 130 е 2 по 65, а то е 5 по 13. Това са все прости числа и не можем да опростим повече: с е равно на корен квадратен от 130. Да направим още един пример. Ще си оставя тук питагоровата теорема, за да я имам на удобно място за справка. Да приемем, че имаме един триъгълник като този, ще го начертая. Това е правият ъгъл. Тази страна означавам с а. Дължината на другата страна е 21. Третата страна има дължина 35. По инерция ще опиташ да намериш а с такова уравнение: 21 на квадрат плюс 35 на квадрат равно на а на квадрат. Но забележи, че в тази ситуация хипотенузата е 35. Нашето с е 35. Тази е най-дългата страна на триъгълника. Питагоровата теорема тук всъщност ни казва, че а на квадрат плюс другата къса страна, която не е хипотенуза, на квадрат, това е 21 на квадрат, е равно на 35 на квадрат. Трябва винаги да се уверяваш, че това с на квадрат отговаря на най-дългата страна на триъгълника, на хипотенузата. Страната срещу правия ъгъл, това е хипотенузата. И така, имаме а на втора плюс 21 на втора равно на 35 на втора. Нека намерим а. Изкушавам се да използвам калкулатора, но ще го пресметна сам. 21 на втора е 21 по 21: 1 по 21 е 21, 2 по 21 е 42 десятки, общо прави 441. Сега за 35 на квадрат. Отново ще се въздържа и няма да използвам калкулатор. 35 по 35: 5 по 5 е 25, пренасям двойката, 5 по 3 е 15, плюс двойката е 17. Слагам нулата и махам това. 3 по 5 е 15, пренасям 1. 3 по 3 е 9, имам едно наум: 10. Ще подредя всичко. 5 + 0 е 5, 7 + 5 е 12, 1 + 1 е 2, и свалям 1 от тук. Става 1225. Сега имам а на квадрат плюс 441 равно на 35 на квадрат, което е 1225. Сега можем да извадим 441 от двете страни на това уравнение. Отляво остава само а на квадрат, а отдясно получаваме разликата на тези две големи числа, ще я разпиша тук малко по-чисто. Изваждам 441. Отляво се унищожава с + 441 и остава а на квадрат. Да пресметна и израза отдясно. 5 е по-голямо от 1, но 2 не е по-голямо от 4 и трябва да заема единица, за да стане 12. От тук заех 1 и остава 1, от него също трябва да извадя 4, затова отново заемам единица отляво. И остава 11. 5 - 1 = 4. 12 - 4 = 8. 11 - 4 = 7. Става а а квадрат равно на 784. Мога да напиша, че а е равно на корен квадратен от 784. Отново се изкушавам да използвам калкулатор, но няма да го направя. Мога сам. 784 се разлага до 2 по 392. Наистина, после 392 по 2 е 784. То също се дели на 2. То е 2 по 196. Дотук са 2 по 2. Наистина, 196 по 2 е 392. 196 също се дели на 2. 196 е 2 по 98. Нека продължим така. 98 е 2 по 49. Това ни е познато. Вече имаме 2 пъти по 2 и още 2 пъти по 2. Това е 2 на четвърта степен. Значи имаме 16 по 49. Нашето а е корен квадратен от 16 по 49. Тези две числа са точни квадрати. Това е равно на корен от 16, което е 4, по корен от 49, или 7. 4 по 7 е 28. Тази страна на триъгълника е равна на 28 според питагоровата теорема. Да направим още един пример. Винаги е полезно да се упражняваш. Имам един друг триъгълник, начертавам го по-голям, ето така. Това е триъгълникът. Тук е правият му ъгъл. Тази страна е 24, а тази е 12. Ще нарека третата страна b. Както винаги, първо ще определя коя е хипотенузата. Тя е най-дългата страна, страната срещу ъгъла от 90 градуса. Все още не знаем колко е b, как тогава да разберем коя е най-дългата страна? В тази ситуация търсим страната срещу ъгъла от 90 градуса. Значи това е хипотенузата. Сборът от квадратите на другите страни е равен на 24 на квадрат. Според теоремата на Питагор, b на квадрат плюс 12 на квадрат е равно на 24 на квадрат. Можем да извадим 12 на квадрат отдясно. Тогава b на квадрат е равно на 24 на квадрат минус 12 на квадрат. Самото b е равно на корен квадратен от 24 на квадрат минус 12 на квадрат. Изкушавам се да използвам калкулатора и този път ще го направя. Ето. Ще си почина от сложните сметки в предишния пример. 24 на квадрат минус 12 на квадрат е приблизително 20,78. Ще върна с една стъпка. 24 на квадрат минус 12 на квадрат е 432. Значи b е равно на корен квадратен от 432. Да го разложим. Вече видяхме отговора, но можем да го представим и опростено чрез корени. Тук имам 2 по 216. Струва ми се, че 216 е точен квадрат. Ще пресметна квадратния му корен. Явно не е. Ще продължа да разлагам 216. 216 е 2 по 108. 108 се дели на 4. Частното е 25 и още 2, значи 27. 27 е 9 по 3. Какво се получи? Имаме 2 по 2 по 4, дотук е 16. Имам 16 по 9 по 3. Така ли е? Ще проверя с калкулатора. 16 по 9 по 3 е 432. Значи b е равно на корен квадратен от 16 по 9 по 3, което е корен от 16, или 4, по корен от 9, или 3, по корен от 3. Това е 12 по корен от 3. Получихме b равно на 12 по корен от 3. Надявам се това да ти беше от полза.