Въведение в подобие на триъгълници

Когато сравняваме триъгълник ABC с триъгълник XYZ, пределно ясно е, че те не са еднакви и имат различни дължини на страните. Но има нещо наистина интересно във връзката между тези два триъгълника. Първо, всичките им съответни ъгли са равни. Ъгълът тук, ъгъл BAC, е еднакъв с ъгъл YХZ. Ъгъл BCA е еднакъв с ъгъл YZX, и ъгъл ABC е еднакъв с ъгъл XYZ. И всички ъгли в тях, съответните ъгли са равни. Виждаме и това, виждаме че страните са уголемен вариант една на друга. И целта ни е от дължината на XZ до AC... можем да умножим по 3, там можем да умножим по 3, за да отидем от дължината на XY до дължината на АВ, която, разбира се, е съответната ѝ страна. Умножаваме по 3, трябва да умножим по 3. И тогава, за да отидем от дължината на YZ до дължината на BC, отново умножаваме по 3. И всъщност триъгълник ABC е един уголемен вариант на триъгълник XYZ. Ако бяха с едни и същи размери, щяха да са еднакви триъгълници, но единият е по-голям, "издут" вариант на другия, или, този е един миниатюрен вариант на онзи там. Ако умножим всички страни по 3, получаваме този триъгълник. Така че не можем да ги наречем еднакви, но определено има някаква специална връзка. Наричаме тази специална връзка "подобност". Можем да запишем, че този триъгълник, триъгълник ABC, е подобен на триъгълник... и искам да се уверя, че правилно свързвам съответните страни... ABC ще е подобен на XYZ. На XYZ. И въз основа на това, което видяхме, тук има три идеи, и те са равносилни начини за представяне на подобности. Един начин за представянето им е този, че единият триъгълник е уголемен вариант на другия. Уголемен или умален вариант на другия. Уголемени или умалени варианти. Когато говорим за еднаквост, те трябва да са напълно еднакви. Може да има въртене, изместване или обръщане, но при всички тях ще е налице категорична еднаквост. При подобностите, можем да завъртим, да изместим или да обърнем, както и да увеличим или намалим размера, за да е налице някаква подобност. Така например, ако кажем, че нещо е еднакво на друго, ако... да кажем, даден триъгълник, например CDE, ако знаем, че триъгълник CDE е еднакъв на триъгълник FGH, тогава определено знаем, че те са подобни. Те са уголемени с коефициент 1. Тогава знаем, че фактически CDE също е подобен на триъгълник FGH, но не можем да кажем обратното. Ако триъгълник ABC е подобен на XYZ, не можем да кажем, че той задължително е еднакъв, и в този конкретен пример виждаме, че те определено не са еднакви. Това е единият начин, по който можем да помислим относно подобностите. Другият начин, по който можем да си представим подобността, е като приемем, че всички съответстващи ъгли са равни. Ако е налице някаква подобност, тогава всички съответни ъгли ще са еднакви. Съответен ъгъл. Винаги имам проблеми с правописа на това. Има два R, едно S. Съответните ъгли са еднакви. Те са еднакви. Така че ако кажем, че триъгълник ABC е... триъгълник ABC е подобен на триъгълник XYZ, това е равносилно на твърдението, че ъгъл ABC е еднакъв, или можем да кажем, че мерките му са равни на ъгъл XYZ, на ъгъл XYZ. Този ъгъл BAC, ще е еднакъв с ъгъл YXZ. И накрая, ъгъл ACB ще е еднакъв с ъгъл XZY. Ъгъл XZY. Така че ако имаме два триъгълника, и всички техни ъгли са равни помежду си, тогава можем да кажем, че те са подобни. Или ако намерим два триъгълника, и ни е известно, че те са подобни, тогава знаем, че всички техни съответстващи ъгли са равни. И последно, предполагам, че начинът, по който можем да представим нещата, е като кажем, че всички страни са уголемени версии една на друга. Т.е. страните са увеличени с един и същ коефициент, На примера, който показах тук, коефициентът беше 3, но не е задължително да е 3. Просто трябва да е същият коефициент за всяка една страна. Ако увеличим тази страна с 3, а тази само с 2, тогава нямаме подобни триъгълници. Но ако увеличим всички страни със 7, тогава ще е налице подобност. Докато всяка страна е увеличена или намалена с един и същ коефициент. Така че един начин, по който можем да помислим, е... и искам да продължим... ... още искам да виждаме онези триъгълници. Нека ги начертая и тук, малко по-просто. И сега говоря в общия случай, дори не е за този конкретен случай. Така, ако кажем, че това са точките А, B и C, а това са Х, Y и Z, чертая ги отново, за да мога да ги ползвам, когато записваме тук. Ако казваме, че тези два елемента тук са подобни, това означава, че съответните страни са уголемени варианти една на друга. Така че можем да кажем, че дължината на AB, можем да кажем, че дължината на AB, e равна на някакъв коефициент... това тук може също да е по-малко от едно... някакъв коефициент, умножен по дължината на XY, съответстващите страни. И знаем, че AB съответства на XY, поради реда, в който съм записал твърдението за подобност. Така, някакъв коефициент по XY... Знаем, че BC, дължината на BC, знаем че нейната дължина трябва да е колкото този същия коефициент, същия коефициент по дължината на YZ, така че налице е същият този коефициент. И тогава знаем, че дължината на AC ще е равна на този същия коефициент по XZ. Така, това е XZ, а това може да е коефициентът. И ако АВ е по-дълга, ако АВС е по-дълга от XYZ, тогава, този коефициент k ще е по-голям от едно, ако пък големината им е една и съща, ако триъгълниците са съответни, тогава това k ще е едно. И ако XYZ e по-голям от АВС, тогава тези коефициенти ще са по-малки от едно. Но друг начин, по който можем да напишем същото, всичко, което имам предвид тук са съответстващите страни, те са уголемени варианти една на друга. Това първо твърдение тук, ако разделим двете страни на XY, получаваме АВ върху XY е равно на коефициента. И след това второто твърдение тук, ако разделим двете страни на YZ, получаваме, че В... нека използвам същия цвят. Получаваме, че ВС делено на YZ е равно на този коефициент. Какъвто и пример да разглеждаме, показахме, че... този коефициент тук е 3, но сега обръщаме внимание на общия случай на подобност, където е налице някакъв коефициент. И накрая, ако тук разделим двете страни на дължината на XZ, или дължината на отсечката XZ, получаваме, че АС върху XZ също е равно на К. Или казано по друг начин, отношението между съответните страни, забележете, че това е отношението на АВ и XY, АВ и XY. Отношението между ВС и YZ, отношението между АС и XZ, отношението между съответните страни ни дава същата константа. Или тук това можем да го препишем като АВ върху XY е равно на ВС върху YZ, е равно на АС върху XZ, което ще е равно на даден коефициент, който е равен на К. Така че ако имаме подобни триъгълници... нека начертая една стрелка... Подобни триъгълници означава, че единият е уголемена версия на другия и можем да изместим, завъртим и пр. с дадено съответствие, и можем да уголемим или намалим, което означава, че всички съответстващи ъгли са еднакви, което още означава, че отношението между съответните страни ще е едно и също за всички съответни страни, или отношението между съответните страни е константа.