Стимулираща задача върху подобие

Даден ни е този чертеж и трябва да намерим каква е дължината на CF. Може би вече се досети, че това ще има нещо общо с подобни триъгълници. Изглежда, че триъгълник CFE е подобен на АВЕ. Логиката е, че той сякаш е вграден в него. Изглежда и, че триъгълникът CFB ще е подобен на триъгълника DEB. Но отново ще докажем това за себе си, и тогава вероятно можем да се справим с всички отношения на различните размери откъм CF тук, и всъщност ще намерим каква е дължината на CF. Нека най-напред докажем за себе си, че това са подобни триъгълници. Имаме този ъгъл АВЕ, който е 90 градуса, и знаем, че този ъгъл от 90 градуса и CFE, ако можем да докажем за мярката на някой друг ъгъл, или сбор от съответни ъгли, че са съответни в двата случая и да докажем, че са подобни. Тогава можем и да покажем, че в двата случая този ъгъл тук е общ. Ъгълът е CEF, той е равен на ъгъл АЕВ. Така, показахме два ъгъла, два съответни ъгъла в тези триъгълници, това е ъгъл в двата триъгълника, те са съответни, так че тези триъгълници ще са подобни. Можем също да покажем тази права, вероятно тази права, понеже очевидно тези два ъгъла са равни. Тогава и тези ъгли ще са равни, оттам определено това са подобни триъгълници. Така че нека запиша тук, за да не ни се пречка повече. Знаем, че този триъгълник АВЕ е подобен на триъгълник CFE, искаме да сме сигурни, че всичко е в правилния ред. F лежи там, където има ъгъл от 90 градуса, В е там, където има ъгъл от 90 градуса, и Е е там, където е оранжевият ъгъл. Така че CFE, това са подобни триъгълници, CFE. Нека сега видим дали можем да докажем същото твърдение ако разсъждаваме по другия начин, като гледаме триъгълник DEB. Тук пак имаме ъгъл от 90 градуса. Този е 90 и този определено ще е 90. Тук ъгъл CFB е 90 градуса. Имаме ъгъл от 90 градуса при DEF и DEB, както и да го наречем. Имат съответни ъгли, които са равни. А ще видим и това, че двата триъгълника имат общ ъгъл тук. При малкия триъгълник тук, не гледам там, нямам предвид този триъгълник тук, трябва да е този отдясно. Те двата имат този общ ъгъл тук. DBE, ъгъл DBE е равен на ъгъл CBF. Вече показах, че този ъгъл е еднакъв с този ъгъл, и този ъгъл е общ за двата, така че е еднакъв на себе си. Имаме два ъгъла, два съответни ъгъла, които са равни един на друг. И знаем, че този по-голям триъгълник тук е подобен на този по-малък триъгълник там. Нека запиша това, също така знаем, че... нека преминем малко по надясно. Знаем, че този триъгълник DEB е подобен на триъгълник CFB. И какво можем да правим оттук нататък? Знаем, че отношенията на съответните страни, в един от тези подобни триъгълници, ще са същите. Но разполагаме само с една страна на един от триъгълниците, т.е. в случая на АВЕ и CFE ни е дадена едната страна. За DEB и CFB ни е дадена само тази страна тук. Изглежда няма много информация, с която да работим. Ето защо това е задача с повишена трудност. Нека продължим нататък и видим дали можем да приемем една от страните; и всъщност, може би страните, които са общи и за двата триъгълника... Нека приемем, че тази страна тук, да приемем, че ВЕ е равна на Y. Нека го запиша. Цялата тази страна е равна на Y. Понеже поне това ни дава нещо за работа. Y е част както от АВЕ, така и от DEB. Сега за онези по-малки триъгълници там, нека тази страна я означим с Х, нека означим BF с X, a FE нека я означим с... тази е Х, тогава тази е Y – Х. Тук въведохме няколко променливи, но с всички пропорционални зависимости, нещата вероятно ще се получат; или поне можем малко да разберем накъде можем да отидем с тази конкретна задача. Но сега можем да обърнем внимание, можем да започнем да се занимаваме с подобните триъгълници. Например искаме да намерим колко е... искаме да намерим CF. Сега знаем, че при тези два триъгълника, отношението на съответните страни е постоянна величина, така например отношението между CF и 9, съответните страни, отношението между CF и 9 трябва да е равно на отношението между Y – Х, това е тази страна там, Y – Х е съответната страна на по-големия триъгълник. Съответната страна на големия триъгълник е цялата тази дължина и цялата онази дължина там, Y. Така че имаме равно на (Y – Х)/Y. Това можем малко да го опростим. Докато задържа за малко, нека видим дали можем да направим нещо подобно с това тук отдясно. Още веднъж, CF е съответна страна на DEB Вече не гледаме триъгълник CFE, сега гледаме този триъгълник. CF е съответна на DE. Имаме, че CF върху DE ще е равно на... CF върху DE ще е равно на Х... Друг цвят... ще е равно на Х върху цялата тази основа тук, тази BE, която знаем, че е Y. И сега това изглежда интересно, защото имаме 3 неизвестни, имаме CF, извинете, вече знаем DE, можеше да напиша CF върху 12. Отношението на CF и 12 ще е равно на отношението на Х и Y. Имаме 3 неизвестни и 3 уравнения, отначало изглеждат трудни за решаване, защото има едно неизвестно, и още едно, и още едно, и още едно. Но изглежда мога да заместя това тук, този израз със Х/Y, след което можем да приложим заместване, ето защо това е малко сложно. Тази страна тук можем да препишем като CF, нека използвам същия този зелен цвят, можем да я препишем като CF върху 9, равно на (Y – Х)/Y, което е същото като Y/Y – Х/Y или 1 – Х/Y. Всичко, което направих, е по същество да умножа; тогава 1/ Y по тези два члена, Y/Y – Х/Y, 1/1 – Х/Y. И това е нещо обичайно, понеже вече знаем на какво е равно Y. Х, извинявам се, Х/Y е равно на... вече знаем, че Х/Y = CF/12. Така че това тук мога да го заместя с CF/12, след което получаваме... на финалната права сме... CF, това което ни интересува, CF/9 = 1 – CF/12. И сега имаме едно уравнение и едно неизвестно. Трябва да можем да намерим това тук, така че можем да прибавим към двете страни CF. Имаме CF/9 + CF/12 = 1. Тук трябва само да намерим общия знаменател. Мисля, че 36 ще свърши работа. Така, 9 по 4 е 36, и ако трябва да умножим 9 по 4, трябва да умножим CF по 4, и ще имаме 4 CF, 4CF/36 = CF/9, следва плюс, CF/12 е равно на 3CF/36, и това ще е равно на 1, и ни остава 4 CF + 3 CF, това дава 7CF/36 е равно на... за да намерим CF, можем да умножим двете страни и реципрочната стойност на 7/36. по 36/7, по 36/7, умножаваме двете страни по 36/7. Това нещо тук се съкращава и ни остава последното, появяват се барабаните, CF е равно на... CF, всичко това тук се съкращава, CF е равно на 1 по 36/7 или 36/7. Това е една страхотна задача, понеже ни показва, че имаме две неща. Можем да си представим това нещо като някакъв пилон, или стената на сграда. Или кой знае какво е. Ако то е с височина 9 фута или 9 ярда, или 9 метра, а това тук, това другото е с височина 12 метра или 12 ярда, каквото и да е, някаква мярка, ако искаме да закачим някакви въжета и на двете, от върха на едното към основата на другото, без значение от разстоянието между тези две неща, дължината ще е казахме каква, без значение от това на какво разстояние са едно от друго, мястото, на което тези две въжета ще се пресекат, ще е на 36/7 височина, или 5/7 височина, без значение на какво разстояние са. Това беше доста, как да кажа, мисля, че беше много хубава задача.