Използване на подобни и еднакви триъгълници

В тази задача ни е дадено, че триъгълник АСЕ е равнобедрен. Това е този голям триъгълник тук. Той е равнобедрен, което означава, че има две равни страни. При равнобедрените триъгълници знаем също, че ъглите при основата са равни. Така че тези два ъгъла ще са равни, а тази страна тук ще е със същата дължина като тази страна тук. Можем да кажем, че АС ще е равна на СЕ, така че получаваме всичко това от това първо условие. И са ни дадени малко повече подсказки, или повече информация. Дадено е, че CG е равна на 24, това тук е CG, и тя е с дължина 24. Дадено е, че ВН равна на DF, т.е. тези два елемента ще са равни, ще бъдат с една и съща дължина. След това ни е дадено, че GF е равна на 12. Това тук е GF, така че GF е равна на 12, което е това разстояние там. И накрая е дадено, че FE е равна на 6. Ето това е FE. В задачата се търси лицето на CBHFD. Това е CBHFD, така че търсим лицето на тази част тук. Нека тази част тук и тази част там е CBHFD. И нека помислим как можем да направим това. Можем да намерим лицето на големия триъгълник и от него можем да извадим лицата на тези малки части отстрани. Тогава ще можем да намерим това лице на затъмнената фигура, но още нямаме информацията, за да го намерим. Не знаем височината на този триъгълник. Не знаем основата му, ако знаехме основата му, щяхме да умножим 1/2 по основата по височината и да получим лицето на този триъгълник, след което да намерим и извадим тези лица. Но тук също нямаме пълна информация. Не ни е известна тази височина, ако я знаем, ще можем да намерим тази височина, но все още не знаем каква е тази дължина тук. Така че нека действаме малко по-малко. Първото нещо, което искаме да направим, и човек може да се досети, защото доста говорихме за подобности, като тук правихме разни доводи за подобност, понеже има няколко подобни триъгълника. Например, триъгълник CGE има един и същ ъгъл като триъгълник DFE. Те двата съдържат този оранжев ъгъл тук, както и този прав ъгъл тук. Така те имат по два общи ъгъла и затова са подобни, по признака за два ъгъла. Можем да покажем, че ще има трети равен ъгъл, понеже тези две прави са успоредни. Така можем да запишем, че триъгълникът CGE е подобен на триъгълника DFE. И знаем това по признака за два равни ъгъла. Имаме няколко съответни ъгъла, които са равни, и тогава този ъгъл е и в двата триъгълника, така че това там са няколко съответни равни ъгъла. И когато знаем, че са подобни, можем да намерим отношението между страните. И понеже имаме известна информация относно някои от страните, от това знаем, че отношението, което е известно, отношението между DF и тази страна тук, която е съответната ѝ страна, отношението между DF и CG, отношението между DF и CG, която е 24, ще е равно на отношението между FE, която е 6 и GE, която не е 12, тя е 12 плюс 6, т.е. 18. И тогава, да видим, 6 върху 18, това е 1 върху 3, получаваме 3 DF = 24. Извърших кръстосано умножение, или можем да умножим двете страни по 24. Като умножим двете страни по 3, ще получим това. Всъщност можем да умножим двете страни по 24, и тогава получаваме 24 по 1/3, но ще го направим по този начин, делим двете страни на 3 и получаваме DF е равно на 8. Разбрахме, че DF е равно на 8, тази дължина там. Това е много полезно за нас. Понеже знаем, че тази страна тук също е равна на 8. И какво можем да направим? Можем да допуснем, друг довод, свързан с подобностите, понеже имаме този ъгъл тук. Той е съответен на този ъгъл там. Имаме и този ъгъл, който ще е 90 градуса. Имаме ъгъл от 90 градуса там и всъщност само по себе си е достатъчно да кажем, че са налице 2 подобни триъгълника. Тук дори не е задължително да показваме, че е налице съответна страна, и всъщност ще покажем, че това са два еднакви триъгълника, тези, които виждаме тук. Един вид имаме два ъгъла и можем направо да отидем там, защото когато говорим за еднаквост, ако са налице един ъгъл, който е равен на друг ъгъл, още един ъгъл, който е равен на друг ъгъл, и страна, която е равна на друга страна, тогава си имаме работа с два еднакви триъгълника. И така, можем да запишем триъгълник... ще използвам розов цвят. Триъгълник АНВ е еднакъв на триъгълник... Искаме да съвпадат съответните върхове. Можем да запишем триъгълник EFD, и знаем, че... понеже имаме признака за еднаквост страна и два ъгъла. И ако тези два триъгълника са еднакви, това улеснява нещата. Това означава, че ако тази страна е 8, и тази страна е 8, вече ни е известно това, по този начин установихме еднаквостта, но това означава, че ако тази страна е 6, с дължина 6, и съответната страна от този триъгълник също ще е с дължина 6. Така че можем да запишем, че тази дължина тук също ще е 6. Сега можем да си представим накъде ще отидат нещата, но искаме да докажем за себе си, искаме със сигурност да знаем какви са лицата. Не искаме да кажем, че това ще е равно на онова. Нека го докажем. Как намираме... почти сме намерили цялата основа на този триъгълник, но още не сме намерили дължината на HG. Сега отново можем да използваме подобност, понеже можем да видим, че триъгълник АВН е подобен на триъгълник ACG. Те двата съдържат този ъгъл тук, както и прав ъгъл, този триъгълник ABH има прав ъгъл, както и ACG има прав ъгъл там. Така че налице са два ъгъла, два съответни ъгъла, които са равни помежду си. Сега се занимаваме с подобни триъгълници. Знаем, че триъгълник ABH... ще го запиша като AHB, щом като вече съм го записал по този начин. АНВ е подобен на триъгълник AGC. Искаме да сме сигурни, че имаме върховете в правилния ред. А е оранжевият ъгъл, G е правият ъгъл, а С е неопределен ъгъл. Той е подобен на триъгълник AGC. И по този начин можем да използваме отношенията, за да намерим на какво е равна HG. Какво можем да кажем тук? Можем да кажем, че 8 върху 24, ВН върху съответната ѝ страна от по-големия триъгълник, т.е. 8 върху 24 е равно на 6... но не върху HG, а върху AG, 6 върху AG и мисля, че се вижда накъде отиват нещата. Имаме, че 1/3 е равна на 6 върху AG, или можем да извършим умножение на кръст и да получим, че AG е равна на 18. Така че цялата тази дължина тук е 18, ако AG е 18, и АН е 6, тогава HG е 12. Това можехме да предположим, ако просто се опитвахме да отгатнем отговора тук. Но сега сме доказали за себе си, че тази основа има дължина... тук имаме 18, а тук имаме още 18, така че става дължина 36. Т.е. цялата основа тук е 36, това е 36. И сега можем да намерим лицето на този по-голям, на целия този равнобедрен триъгълник. И така, лицето на АСЕ ще е равно на 1/2 по основата, което е 36 по 24. Така че това ще е равно на 1/2 по 36 е 18, 18 по 24, ще го пресметна тук горе, 18 по 24, 8 по 4 е 32, 1 по 4 е 4, плюс 3 е 7, нека тук добавя 0, понеже сметката не е с 2, а с 20. Ако 2 по 8 е 16, 2 по 1 е 2, плюс 1, т.е. 316, и след това имаме 2, 7 плюс 6 е 13, 1 плюс 3 е 4. Така че лицето на АСЕ е равно на 432, но още не сме готови. Това лице, което ни интересува, е лицето на целия триъгълник минус лицата тук и тук. Така че какво е лицето на всеки от тези малки триъгълници тук? То ще е равно на 1/2 по 8, по 6, т.е. 1/2 по 8, тук е 4 по 6. Един вид това ще е 24, а това там ще е друго 24. И това ще е равно на 432 минус 24, минус 24, или минус 48, което е равно на... можем да го сметнем наум. Ако извадим 32 ще получим 400. И тогава ще трябва да извадим 16. Ако извадим 10 от 400, получаваме 390, и така ще стигнем до 300, ще стигнем до 384, без значение от единиците. Ако бяха метри, то това ще са метри на квадрат, ако бяха сантиметри, щяха да са сантиметри на квадрат. Справих ли се? Нека пробваме другия начин, ако добавя 8, и ако добавя 40 към това, 24 плюс още 8 дава 432. Дааа, готови сме.