Квадратни неравенства

Нека кажем, че искаме да решим неравенството х на квадрат плюс 3х е по-голямо от 10. Искаме да намерим всички стойности на х, които ще удовлетворяват неравенството. Препоръчвам ти да спреш видеото на пауза сега. Ще ти дам една подсказка. Опитай се да го преработиш по начина, по който щеше да го направиш, ако това беше квадратно уравнение. Но след като го решиш до края, опитай се да го обосновеш, защото разсъжденията може да се отклоняват малко от това, което ти е познато. Приемам, че вече опита. Първото нещо, което може да искаме да направим, е просто да го приведем във вид, с който ще ни е по-удобно да работим, а именно да извадим 10 от двете страни. Ако извадим 10 от двете страни, тогава от лявата страна ще имаме х на квадрат плюс 3х минус 10 все още ще бъде по-голямо от. Ако прибавяме или изваждаме едно и също нещо към двете страни, неравенството няма да се промени. Но сега то ще бъде по-голямо от 0. 10 минус 10 е 0. Това ни дава вида, в който сме свикнали по-често да виждаме квадратните изрази. Ако това тук беше знак за равно, щяхме да искаме да разложим това. Нека просто се опитаме да разложим тук също и да видим какво се случва. Ще го разложим. Ще потърсим две числа, чието произведение е минус 10 и чийто сбор е плюс 3. Като имаме доста опит в това. Ако разгледаме делителите на 10, те ще са 1, 2, 5 и 10. 2 и 5 изглеждат подходящи, защото тяхната разлика е 3. Ако имаме плюс 5 и минус 2, това изглежда, че ще свърши работа. Плюс 5 и минус 2. Произведението им е минус 10, сборът им е плюс 3. Можем да го напишем като х плюс 5. Нека го напиша с този жълт цвят, за да видиш, от къде идва това 5. х плюс 5 по х минус 2 ще бъде по-голямо от 0. Ако това тук беше равенство, щяхме да кажем: "Как получаваме това да е равно на 0?" Ако някое от тези бяха равни на 0, тогава целия израз щеше да бъде равен на 0, защото 0 по всичко е 0. Но тук нямаме равенство. Имаме знак за по-голямо. Така че нека помислим, как можем да го обосновем. Ще направя малко отклонение тук. Ако ти бях казал две числа А и В, и ако трябваше да изчисля произведението от А по В, и някой ти беше казал, че произведението им е по-голямо от 0, какво щяхме да знаем за А и В? Знаем, че те трябва да са с еднакъв знак. Или двете са положителни, -- положително по положително ще бъде положително -- или двете са отрицателни -- отрицателно по отрицателно е положително. Това ще бъде по-голямо от 0. Така че имаме същото нещо тук. Нека го запиша. Знаем, че или А е по-голямо от 0 и В е по-голямо от 0, -- или двете са положителни, или двете са отрицателни -- или А е по-малко от 0, и В е по-малко от 0. В е по-малко от 0. Така че тук прилагаме същата логика. Можеш да разглеждаш х плюс 5 като А, можеш да разглеждаш х минус 2 като В от произведението на две неща. Произведението е по-голямо от 0. Това означава, че или двата израза са положителни, или и двата са отрицателни. Нека го запишем. Ще го напиша по този начин. Или двата израза са положителни. Или х плюс 5 е по-голямо от 0 и х минус 2 е по-голямо от нула -- нека го напиша така -- или двете са отрицателни. х плюс 5 е по-малко от 0, и х минус 2 е по-малко от 0. х минус 2 е по-малко от 0. Сега нека разгледаме всички тези неравенства по отделно. Но нека разгледаме логиката тук за "и" и "или". Нека разгледаме това. Или и двете са положителни, така че ако двата израза са положителни, какво знаем за х? Ако извадим 5 от двете страни на това неравенство, получаваш х е по-голямо от минус 5. Ако прибавиш 2 към това неравенство, към двете страни на това неравенство, ще получиш х е по-голямо от 2. Ако х е по-голямо от минус 5 и х е по-голямо от 2, какво знаем за х? Всяко х, което е по-голямо от 2 ще бъде по-голямо от минус 5. Можем просто да опростим това тук и да кажем, че х е по-голямо от 2. Така че това е еквивалентно на това, да кажем, че х е по-голямо от 2, защото е ясно, че всичко, което е по-голямо от 2, ще удовлетворява това условие. И двете трябва да верни. Например х равно на минус 4 ще удовлетворява това неравенство, но не и това. Така че думата "и" ще отпадне. Минус 4 не удовлетворява и двете. За да удовлетвори и двете, по същество то трябва да удовлетворява това. Този израз се опростява до това. Сега какво ще кажем за това? Какво ще кажем за това твърдение тук? х плюс 5 по-малко от 0, изваждаме 5 от двете страни. Имаме х е по-малко от минус 5. Прибавяме 2 към двете страни на това неравенство, получаваш х е по-малко от 2. Ако х е по-малко от минус 5 и х е по-малко от 2, какво знаем за х? Това просто означава, че х трябва да бъде по-малко от минус 5. х трябва да е по-малко от минус 5. Ако това е по-малко от минус 5, определено ще бъде по-малко от 2. Като трябва да не забравяме, че тук имаме "или". По същество това описва множеството на решенията за това квадратно неравенство тук. х ще бъде по-голямо от 2 или х ще бъде по-малко от минус 5. Като всъщност можем да нанесем това множество от решенията на числова ос. Ако това тук е една числова ос, нека кажем, че това е 0. Нека кажем, че това е 1. 2 ето тук. Това е минус 1, минус 2, минус 3, минус 4, минус 5. х може да бъде по-голямо от 2, а не по-голямо или равно на, така че ще поставя отворено кръгче. То може да е по-голямо от 2. Или може да е по-малко от минус 5, а не по-малко или равно, така че ще поставя и тук отворено кръгче. То може да е по-малко от това. х може да бъде всяко число. То може да е минус 6, минус 6 ще го удовлетворява. Можеш да го провериш. Минус 6 на квадрат е 36 плюс минус 18, което ще бъде 18, което е по-голямо от 10. Или можеш да кажеш, че плюс 3 ще става. 3 на квадрат е 9 плюс още 9 ще бъде 18, което отново е по-голямо от 10.