If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Ако си зад уеб филтър, моля, увери се, че домейните *. kastatic.org и *. kasandbox.org са разрешени.

Основно съдържание

Положителни и отрицателни интервали на полиноми

Научи за връзката между нулите на полиномите и интервалите, в рамките на които, те са положителни или отрицателни.

Какво трябва да знаеш, преди да започнеш този урок

Нулите на полинома f отговарят на пресечните точки на графиката на y, equals, f, left parenthesis, x, right parenthesis и оста x.
Дадено е f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, plus, 3, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 1, right parenthesis, squared. Тъй като нулите на функцията f са minus, 3 и 1, графиката на y, equals, f, left parenthesis, x, right parenthesis ще пресича оста x в точките left parenthesis, minus, 3, ;, 0, right parenthesis и left parenthesis, 1, ;, 0, right parenthesis.
Ако това е ново за теб, препоръчваме да погледнеш нашата статия за нули на полиноми.

Какво ще научиш в този урок

Макар пресечните точки с оста x да са важна характеристика на графиката на една функция, имаме нужда от повече, за да направим добър чертеж.
Да знаем знака на една полиномна функция между две нули може да ни помогне да запълним някои пропуски.
В тази статия ще научим как да определим интервалите, в които един полином е положителен или отрицателен, и как да свържем това с графиката.

Интервали с положителни и отрицателни стойности на функцията

Знакът на един полином между всеки две последователни нули е или винаги положителен, или винаги отрицателен.
Например помисли върху графиката на функцията f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, plus, 1, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 1, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 3, right parenthesis.
От графиката виждаме, че f, left parenthesis, x, right parenthesis е винаги...
  • ...отрицателна, когато minus, infinity, is less than, x, is less than, minus, 1.
  • ...положителна, когато minus, 1, is less than, x, is less than, 1.
  • ...отрицателна, когато 1, is less than, x, is less than, 3.
  • ...положителна, когато 3, is less than, x, is less than, infinity.
Не е задължително една полиномна функция да променя знака си между нулите.
Например, разгледай графиката на функцията g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, left parenthesis, x, plus, 2, right parenthesis, squared.
От графиката виждаме, че g, left parenthesis, x, right parenthesis е винаги...
  • ...отрицателна, когато minus, infinity, is less than, x, is less than, minus, 2.
  • ...отрицателна, когато minus, 2, is less than, x, is less than, 0.
  • ...положителна, когато 0, is less than, x, is less than, infinity.
Забележи, че g, left parenthesis, x, right parenthesis не променя знака си около x, equals, minus, 2.

Определяне на интервалите, в които стойностите на полинома са положителни или отрицателни

Нека намерим интервалите, в които полиномът f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, plus, 3, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 1, right parenthesis, squared е положителен, и интервалите, в които е отрицателен.
Нулите на f са minus, 3 и 1. Това създава три интервала, в които знакът на f не се променя:
Нека намерим знака на f в интервала minus, infinity, is less than, x, is less than, minus, 3.
Знаем, че f ще е или винаги положителна, или винаги отрицателна в този интервал. Можем да определим кое от двете е като пресметнем f за една стойност в този интервал. След като minus, 4 е в този интервал, нека намерим f, left parenthesis, minus, 4, right parenthesis.
Понеже ни интересува само знака на полинома, не е нужно напълно да го изчисляваме:
f(x)=(x+3)(x1)2f(4)=(4+3)(41)2=()()2Определяме само знака на отговора.=()(+)Минус на квадрат дава плюс.=Минус по плюс дава минус.\begin{aligned} f(x) &= (x+3)(x-1)^2 \\\\ f(-4) &= ({-4+3})({-4-1})^2 \\\\ &= ( -)(-)^2 &&{\gray{\text{Определяме само знака на отговора.}}} \\\\ &=(-)(+)&&{\gray{\text{Минус на квадрат дава плюс.}}} \\\\ &=-&&{\gray{\text{Минус по плюс дава минус.}}} \end{aligned}
Тук виждаме, че f, left parenthesis, minus, 4, right parenthesis е отрицателно, така че f, left parenthesis, x, right parenthesis винаги ще бъде отрицателна в интервала minus, infinity, is less than, x, is less than, minus, 3.
Можем да повторим процеса за останалите интервали.
Резултатите са обобщени в таблицата по-долу.
ИнтервалСтойността на конкретна стойност на f, left parenthesis, x, right parenthesis в интервалаЗнак на f в интервалаВръзка с графиката на f
minus, infinity, is less than, x, is less than, minus, 3f, left parenthesis, minus, 4, right parenthesis, is less than, 0отрицателенПод x-оста
minus, 3, is less than, x, is less than, 1f, left parenthesis, 0, right parenthesis, is greater thanположителенНад x-оста1, is less than, x, is less than, infinityf, left parenthesis, 2, right parenthesis, is greater than, 0положителенНад x-оста
Това съответства на графиката на y, equals, f, left parenthesis, x, right parenthesis.

Провери знанията си

1) g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, plus, 1, right parenthesis, squared, left parenthesis, x, plus, 6, right parenthesis има нули за x, equals, minus, 6 и x, equals, minus, 1.
Какъв е знакът на функцията g в интервала minus, 6, is less than, x, is less than, minus, 1?
Избери един отговор:
Избери един отговор:

2) h, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, left parenthesis, 3, minus, x, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 5, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 2, right parenthesis има нули в x, equals, minus, 5, x, equals, 2 и x, equals, 3.
Какъв е знакът на функцията h, left parenthesis, x, right parenthesis в интервала minus, 5, is less than, x, is less than, 2?
Избери един отговор:
Избери един отговор:

Задача с повишена трудност

3*) Кое от следните може да бъде графиката на g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, minus, 2, right parenthesis, squared, left parenthesis, x, plus, 1, right parenthesis, cubed?
Избери един отговор:
Избери един отговор:

Определяне на интервалите с положителни и отрицателни стойности от скицираната графика

Друг начин да определим интервалите, в които един полином е положителен или отрицателен, е да начертаем графиката му и да разгледаме поведението в краищата на интервала и кратността на нулите му.
Виж статията за графики на полиноми за допълнителна информация.